Orden descendente de un polinomio

Así mismo, esta disciplina matemática señala que esta disposición de términos algebraicos puede darse en dos sentidos: el ascendente, en donde los términos se disponen desde el menor grado hasta el mayor; y el orden descendente, en donde los términos del polinomio son ordenados desde aquel que tenga el mayor grado hasta el de menor grado, el cual si la expresión cuenta con uno o varios términos independientes, será de grado cero.

Orden descendente de polinomios de más de una variable

No obstante, en cuanto al orden descendente de un polinomio, no sólo existen diferencias respecto a su sentido, sino que también se encuentran distintas formas de realizar esta operación según la cantidad de variables que puedan identificarse. En este sentido, mientras que para ordenar de forma descendente un polinomio de una sola variable, bastará con identificar el máximo exponente al que esté elevada la variable, y a partir de ahí ordenar los términos de mayor a menor, en los polinomios de más de una variable se siguen procesos distintos, puesto que en principio se deberá escoger una letra ordenatriz, la cual será la que se tome de guía, a fin de revisar los exponentes a los que se encuentra elevada cada término, disponiéndolos a partir de ellos.

Pasos para ordenar de forma ascendente polinomios de más de una variable

Sin embargo, no está de más revisar cuáles deben ser cada uno de los pasos que se sigan a la hora de ordenar un polinomio, en donde ha sido posible detectar más de una variable. A continuación, algunos de ellos:

• Una vez determinada la existencia de más de una variable, bien si esta característica ocurre en cada término o solo en algunos, y sabiendo que se desea ordenar el polinomio, se deberá también escoger la letra ordenatriz.
• En base a ella, sabiendo cuál será la variable guía, se procede entonces a revisar cuáles son los exponentes a los que se encuentra elevada ella.
• Se determinará entonces cuál será el término en donde pueda verse el grado de mayor valor.
• Se dispondrán los términos, desde ese con mayor valor en el grado de la letra ordenatriz hasta aquellos que tengan el menor, a fin de cumplir con la operación de ordenar descendentemente el polinomio.

Ejemplos de ordenamiento de polinomios de más de una variable

Empero, quizás la mejor forma de poder entender estas definiciones y teorías sea la de revisar ejemplos concretos, que permitan colocar en práctica el compendio teórico que el Álgebra elemental ha concebido en torno a esta operación algebraica. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x)= 4xy² – 3x²y⁴ + 5x³y² -2xy + 5 ordenar de forma descendente según la variable x

En este caso, ya que el postulado plantea cuál es la letra ordenatriz, bastará entonces con revisar cuáles son los exponentes a los que se encuentra elevada esta variable, identificando entonces que x cuenta con 3 como el mayor grado. Como el polinomio cuenta también con un término independiente, se tendrá a este como el elemento de menor grado, por ser de grado 0. Identificados estos parámetros, se dispondrán los elementos entonces de mayor a menor:

P_(x)= 4xy² – 3x²y⁴ + 5x³y² -2xy + 5 →  P_(x)= 5x³y²– 3x²y⁴+ 4xy² -2xy + 5

Dado el polinomio P_(x,y)= 5xy³ – 4 – 6 + 3 – 2x²y² – x⁴y³ + 2x³y ordenar de forma descendente según cada una de las variables

Por su parte, como en este caso, se deberá ordenar el polinomio de acuerdo a cada una de sus literales, se tiene que empezar entonces por revisar los máximos grados, teniendo entonces:

De acuerdo a la variable x → 4
De acuerdo a la variable y → 3

Así mismo, como el polinomio cuenta con tres términos independientes, se asume que cada uno de cuenta con un grado cero, por lo que serán dispuestos hacia el final del polinomio, en orden descendente según su valor. Teniendo definidos estos parámetros, se procede entonces a disponer los términos de acuerdo al orden descendente, es decir, de mayor a menor, según cada uno de sus literales:

Según la variable x:

P_(x,y)= 5xy³ – 4 – 6 + 3 – 2x²y² – x⁴y³ + 2x³y →  P_(x,y)= – x⁴y³ + 2x³y – 2x²y² + 5xy³ – 6 – 4 + 3

Según la variable y:

P_(x,y)= 5xy³ – 4 – 6 + 3 – 2x²y² – x⁴y³ + 2x³y →   P_(x,y)= – x⁴y³ + 5xy³ – 2x²y² + 2x³y– 6 – 4  + 3

Dado el polinomio P_(a,b,c)= 4x² – 5y³ + 4z² – 3x²y²z – 6x³y⁴z² +xyz ordenar de forma descendente según cada una de las variables.

A fin de cumplir con el postulado planteado, se deberá revisar el valor de los exponentes de cada literal, para determinar cuál es el mayor grado al que se encuentra elevado. Sin embargo, como el polinomio no cuenta con términos independientes, se deberá identificar también el menor valor de cada literal:

De acuerdo a la variable x → grado mayor= 3 / grado menor= 1
De acuerdo a la variable y → grado mayor= 4 / grado menor = 1
De acuerdo a la variable z → grado mayor= 2 / grado menor = 1

Identificados estos parámetros, se debe entonces proceder a ordenar de forma descendente el polinomio, de acuerdo a cada una de sus variables:

Según la variable x:
P_(a,b,c)= 4x² – 5y³ + 4z² – 3x²y²z – 6x³y⁴z² +xyz →  P_(a,b,c)= – 6x³y⁴z² – 3x²y²z  + 4x² +xyz – 5y³ + 4z²

Según la variable y:

P_(a,b,c)= 4x² – 5y³ + 4z² – 3x²y²z – 6x³y⁴z² +xyz → P_(a,b,c)= – 6x³y⁴z²– 5y³ – 3x²y²z +xyz + 4x² + 4z²

Según la variable z:

P_(a,b,c)= 4x² – 5y³ + 4z² – 3x²y²z – 6x³y⁴z² +xyz → P_(a,b,c)= – 6x³y⁴z² + 4z²– 3x²y²z +xyz + 4x² – 5y³

Otros casos que pueden servir de ejemplo al orden ascendente que pueden tomar los polinomios de más de una variable son los siguientes:

Dado el polinomio P_(x,y)= 3 – 2xy +3x²y – 4x³y² ordenar de forma ascendente según la variable x
P_(x)= 3 – 2xy +3x²y – 4x³y² → P_(x)= – 4x³y²+3x²y – 2xy + 3

Dado el polinomio P_{(a,b, c)}= abc – 2a²b²c² – c⁴ + b⁵ – 2bc³ + 7ab²c ordenar de forma descendente según la variable b.

P_{(a,b, c)}= abc – 2a²b²c² – c⁴ + b⁵ – 2bc³ + 7ab²c → P_{(a,b, c)}= b⁵ – 2a²b²c² + 7ab²c – 2bc³ + abc– c⁴

Dado el polinomio P_(x,y,z) = z² – 4z⁵ + 3xyz – x²y³z + 4z² ordenar de forma descendente según la variable z

P_(x,y,z) = z² – 4z⁵ + 3xyz – x²y³z + 4z² → P_(x,y,z) = – 4z⁵+ 4z²+ z² – x²y³z + 3xyz

Dado el polinomio P_(x,y)= 5xy – 4x²y + 5x³y² – 3  ordenar de forma ascendente según la variable y
P_(x,y)= 5xy – 4x²y + 5x³y² – 3  → P_(x,y)= 5x³y² – 4x²y +5xy– 3 

Dado el polinomio P_(x,y,z) = 4xyz – 4 + 5  3x²y²z + 2x³y²z² ordenar de forma ascendente según la variable x

P_(x,y,z) = 4xyz – 4 + 5 – 3x²y²z + 2x³y²z² → P_(x,y,z) = 2x³y²z² – 3x²y²z +4xyz + 5– 4

Imagen: flickr.com