Pasos para ordenar un polinomio

Así mismo, como operación al fin, los procesos involucrados en lograr el orden deseado en el polinomio se irán dando a través de una serie de pasos, tales como los que pueden verse a continuación:

• Al estar frente al polinomio, se deberá revisar cada uno de sus términos, a fin de poder concluir si se trata de un polinomio de una o varias variables, pues esto determinará la forma de identificar el grado de cada término, así como la forma de ordenarlos.
• Decididas las operaciones a seguir, en base a las características del polinomio, se deberá determinar cuál es el grado que posee cada término, pues esto es lo que servirá de orientación, a la hora de determinar el orden del polinomio.
• Finalmente, se dispondrán los términos, según el valor de sus grados, en el caso de los polinomios de una sola variable,  y de acuerdo a los grados de la letra ordenatriz, en el caso de los polinomios de más de una variable.

Orden descendente de un polinomio

Por otro lado, existen también dos formas de ordenar un polinomio, bien si sus términos se disponen de menor a mayor, en cuyo caso se hablará de un orden ascendente, o cuando los términos del polinomio se ordenan desde el grado mayor observado en sus términos hasta el menor de ellos, forma que recibe el nombre de Orden descendente. Igualmente, tanto en el orden ascendente como descendente, se debe tomar en cuenta el grado al que se encuentra elevado el término independiente, el cual es igual a cero, por lo que éste –es decir, el término independiente- siempre es el término de menor grado, lo cual hace que en el caso del orden descendente, de existir en el polinomio, ocupe el último lugar.

Pasos para ordenar un polinomio de forma descendente

En este sentido, al momento de ordenar un polinomio de forma ascendente, se pueden seguir básicamente dos procedimientos, los cuales dependerán básicamente de la cantidad de variables que tengan los términos, por lo que se pueden describir separadamente de la siguiente forma:

Cuando el polinomio es de una sola variable

Llegado el caso, si el polinomio que debe ordenarse, se caracteriza por tener términos en donde solo pueden distinguirse una variable, los pasos que se seguirán serán los siguientes:

• Determinar cuál es el término que cuenta con el exponente de mayor valor.
• Como se trata de un orden descendente, se deberá determinar también cuál es el término de menor grado, el cual si el polinomio cuenta con un término independiente, será éste por tener un grado igual a cero.
• Conocidos ambos extremos del polinomio –los términos de mayor y menor grado- se deberá proceder a disponer los términos según el valor de sus grados, empezando por el término de mayor grado, y terminando con el de menor grado.

Cuando el polinomio tiene más de una variable

Si por el contrario, se puede ver que el polinomio cuenta con más de una variable, o incluso cada uno de sus términos presentan una variable distinta, se concluye que se está frente a un polinomio de más de una variable, ante el cual, en aras de conseguir un orden descendente, se cumplirán los siguientes pasos:

• Se escogerá la letra ordenatriz, es decir, la variable que servirá de guía en el proceso de ordenamiento.
• Se entrará a revisar los exponentes a los que esta variable se encuentra elevada, a fin de determinar cuál es el mayor grado con el que cuenta.
• Así mismo, se determinará cuál es el menor grado con el que cuentan la variable escogida. Sin embargo, si el polinomio cuenta con un término independiente, se tomará éste como el término de menor grado.
• Se dispondrán los términos según el valor de los grados a los que se encuentran elevados los exponentes de la letra ordenatriz, ordenándolos de mayor a menor.

Ejemplos de orden descendente de polinomios

No obstante, la mejor forma de abordar esta operación algebraica será a través de ejemplos, que permitan poner en práctica las definiciones que el Álgebra elemental da al respecto. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x)= 3x² – x³ + 5x – 7x⁴ + 3 ordenarlo de forma descendente

Para cumplir con el postulado, se deberán revisar los exponentes a los que se encuentra elevada la variable x en cada uno de los términos. En consecuencia, se identifica el 4 como el valor del máximo exponente. En contraparte, se calcula el 1 como el mínimo grado con el que cuenta x, sin embargo, habiendo un término independiente, se contará con un grado igual a cero. Determinados estos parámetros, se debe entonces disponer los términos desde el de mayor grado hasta el de menor, respetando en todo momento el signo que cada término tenía en la disposición original:

P_(x)= 3x² – x³ + 5x – 7x⁴ + 3  →   P_(x)= – 7x⁴ – x³ + 3x² + 5x + 3

Dado el polinomio P_(x,y) = 4xy³ – x² + y⁴ – 5x²y + 6xy – 4 ordenarlo de forma descendente según la variable y

Por su parte, en este caso, ya que el postulado indica cuál es la letra ordenatriz que debe servir de guía, se procede a revisar los exponentes a los que se encuentran elevada en cada uno de sus términos, a fin de identificar el valor de su máximo grado y del menor de ellos. Por consiguiente, se tendrá que la variable y cuenta con el máximo grado de 4, y el mínimo de 1. No obstante, como el polinomio cuenta con un término independiente, se puede hablar de un término de grado cero, que será entonces el que ocupe el puesto de término de menor grado. Identificados estos parámetros, se deberá entonces disponer los términos desde el mayor hasta el menor, según la variable y:

P_(x,y) = 4xy³ – x² + y⁴ – 5x²y + 6xy – 4 →  P_(x,y) = y⁴ + 4xy³ – 5x²y + 6xy – x²  – 4

Dado el polinomio P_(x,y,z) = xyz – 2x²yz² + 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 5 ordenarlo de forma  descendente según cada una de sus variables

En este caso, en cambio, se deberá revisar los exponentes de cada uno de sus términos, a fin de determinar cuáles son los de mayor grado y los de menor grado. En consecuencia, se tendrán los siguientes parámetros:

De acuerdo a la variable x → mayor grado= 3 / menor grado= 2
De acuerdo a la variable y → mayor grado= 3 / menor grado= 1
De acuerdo a la variable z → mayor grado= 4 / menor grado= 1
De acuerdo al término independiente → menor grado= 0

Identificados estos parámetros, se deberá entonces ordenar los términos de forma descendente, según cada una de las variables:

Según la variable x:

P_(x,y,z) = xyz – 2x²yz² + 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 5 →  P_(x,y,z) = 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 2x²yz²  +  xyz – 5

Según la variable y:

P_(x,y,z) = xyz – 2x²yz² + 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 5 → P_(x,y,z) = 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 2x²yz² +  xyz  – 5

Según la variable z:

P_(x,y,z) = xyz – 2x²yz² + 3x³y³z³ – x²y²z⁴ – 5 →  P_(x,y,z) = – x²y²z⁴+ 3x³y³z³ – 2x²yz² + xyz– 5

Otros casos que pueden servir de ejemplo a la operación de ordenar polinomios de forma descendente son los siguientes:

Dado el polinomio P_(x)= 5x² – x⁴ + x – 4 ordenar de forma descendente

P_(x)= 5x² – x⁴ + x – 4 → P_(x)= – x⁴  + 5x² + x – 4

Dado el polinomio P_(y)= y³ – 2y – 4y⁵ + 10y² – 5 ordenar de forma descendente

P_(y)= y³ – 2y – 4y⁵ + 10y² – 5 → P_(y)= – 4y⁵ + y³ + 10y²– 2y  – 5

Dado el polinomio P_(x) = 4 – 5y⁴ + 3y ordenar de forma descendente

P_(x) = 4 – 5y⁴ + 3y → P_(x) = – 5y⁴ + 3y + 4

Dado el polinomio P_(b)= b³ – 5 + 3b⁵ – 2b² + 2b + 9b² ordenar de forma descendente

P_(b)= b³ – 5 + 3b⁵ – 2b² + 2b + 9b² → P_(b)= 3b⁵+ 9b⁴+ b³– 2b² + 2b  – 5  

Dado el polinomio P_(a)= a – 5a³ + 6a⁴ – 24a² ordenar de forma descendente

P_(a)= a – 5a³ + 6a⁴ – 24a² → P_(a)= 6a⁴– 5a³– 24a² +a 

Dado el polinomio P_(x,y,z)= 2x²yz – 4x²y³ + z⁵ – 3x³y³z² – 4 ordenar de forma descendente según la variable x

P_(x,y,z)= 2x²yz – 4x²y³ + z⁵ – 3x³y³z² – 4 → P_(x,y,z)= – 3x³y³z² – 4x²y³+ 2x²yz + z⁵– 4 

Dado el polinomio P_(a,b,c) = 4a – 3b² + c⁴ – 4abc³ + 2a²b³c – 7  determinar el orden descendente según la variable b

P_(a,b,c) = 4a – 3b² + c⁴ – 4abc³ + 2a²b³c – 7 → P_(a,b,c) = 2a²b³c– 3b²  – 4abc³+ c⁴ +  4a  – 7

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