Es probable que la mejor forma de abordar los casos que pueden ser usados como ejemplos de polinomios de tercer grado, sea revisar algunas definiciones fundamentales, que permitirán entender la naturaleza de estas expresiones algebraicas, así como las operaciones relacionadas con el ejercicio de identificarlas como tal, es decir, como polinomios de tercer grado.
Definición de polinomio
Por consiguiente, quizás el primer concepto que deba revisarse sea la propia definición de Polinomio, el cual es concebido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, compuesta por un conjunto de monomios, entre los que se establecen operaciones de sumas, aun cuando en algunos casos se puedan encontrar también operaciones de resta o división. De esta forma, el Polinomio es entonces una expresión algebraica constituida por una suma finita de monomios.
Grado del polinomio
En cuanto al Grado del polinomio se puede señalar que éste constituye uno de los cuatro elementos fundamentales del polinomio (términos, coeficientes, término independiente y grado) y que se encuentra conformado por el valor del mayor exponente que pueda apreciarse dentro de la expresión algebraica. No obstante, en el caso de polinomios en donde un término tenga dos variables, la forma de calcular el grado de dicho término será sometiendo a una operación de suma a las variables que lo conforman, comparando el resultado con los demás grados, a fin de determinar cuál es el mayor valor, y asumirlo entonces como el grado del polinomio.
Funciones del grado del polinomio
Así mismo, el Álgebra elemental se ha dado a la tarea de señalar que el Grado del Polinomio no sólo constituye un elemento del polinomio, sino que es el responsable de algunas funciones básicas dentro de la expresión, entre las cuales se pueden nombrar algunas como las siguientes:
- Servir de elemento referencial a la hora de establecer una clasificación, en base al grado que haya sido determinado en la expresión algebraica: polinomios de primer grado, polinomios de segundo grado, etc.
- Igualmente, el grado del polinomio es fundamental a la hora de establecer un orden dentro de la expresión algebraica, bien si es de forma ascendente –del grado menor al grado mayor- o descendente –de mayor a menor.
Ejemplos de polinomios de tercer grado
Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo entender los ejemplos que pueden encontrarse sobre los polinomios de tercer grado, conocidos también como polinomios cúbicos, y definidos como aquellas expresiones algebraicas compuestas por una suma finita de monomios, en donde el exponente de mayor valor que puede observarse entre sus términos corresponde al número 3. No obstante, la forma más práctica de entender dicha definición es a través de la exposición de algunos casos que pueden servir de ejemplo, tal como los que se muestran a continuación:
P(x) = 3x3 + 4
En primer lugar, este término puede ser considerado un binomio, pues consta de dos términos, uno de los cuales cuenta con un exponente entero y positivo, por lo que es identificado como un monomio, y por ende el término –al contar con dos términos- como un binomio. Por otra parte, se pueden distinguir un término con variable, y otro independiente, por lo que para determinar el grado de este polinomio se tomará en cuenta sólo el exponente del primer término, el cual es equivalente a tres, por lo que este polinomio puede considerarse entonces como un polinomio de grado tres, o de tercer grado.
P (x,y,z) = 2x + 4xyz – 5
Por su parte, también puede ocurrir que existan expresiones mucho más complejas, es decir, con mayor número de términos, como es el caso de este trinomio. Así mismo, en este polinomio puede apreciarse una condición más: la presencia de un término con más de una variable. Para determinar el grado de este polinomio, se deberá comenzar por determinar los grados de cada término. En este caso, el primero cuenta con una sola variable x elevada a la unidad, por ende de grado 1. En el segundo término, se pueden apreciar varias variables, por lo que para determinar su grado será necesario sumar los exponentes de cada uno, los cuales por no estar expresados claramente serán asumidas como 1, las cuales deberán sumarse: 1+1+1= 3. Al ser éste el mayor valor de todos los términos, se tendrá entonces que el grado del polinomio será igual a tres, por lo que el polinomio puede ser considerado como un polinomio de tercer grado, o cúbico.
P (a,b,c) = 4ab – 3a + 2a3 + 5bc – 2 + 5
Así mismo, este polinomio sirve de ejemplo para explicar que no importa la cantidad de términos que puede tener una expresión algebraica de este tipo, para que si el mayor exponente que se encuentre es el 3, pues éste sea asumido como el grado del polinomio. Es así como el término 2a3 al tener el exponente de mayor grado, determina el grado del polinomio, haciendo que este pueda ser identificado como un polinomio de tercer grado, conocido también como polinomio cúbico.
Otros ejemplos de polinomios de tercer grado pueden ser los siguientes:
P(x) = 5x3 – 2
P(x,y,z) = 4xyz
P(ab) = 2ab – ab + 3a – ab2 + 4
P(x,y) = 2x – 5x2y
P(y) = 3y3 + 6
P(x, y, z) = 8x – 7xy + 5yz – 4a2 + xyz
P(a) = 8a – 4a – 3a2 + a3 – 4
P(x) = 7x3 – 2 + 8x
P(x,y,z) = -4x – 3y3 + yz – 2
P (ab) = a3 – ab – 4ab + 2
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