Definiciones fundamentales

Sin embargo, antes de continuar con aquellos casos que pueden servir para ejemplificar este tipo de polinomios, quizás sea conveniente revisar algunas definiciones, que pueden ser necesarias para establecer el contexto adecuado a esta clase de expresiones. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio

Por consiguiente, el primer concepto que se abarcará será el del propio polinomio, el cual es visto como un conjunto finito de monomios entre los que se realizan operaciones de suma, en su gran mayoría, así también –aunque en menor frecuencia- de resta o multiplicación. Igualmente, las operaciones de división se encuentran exentas de poder realizarse entre cada uno de los términos que conforman el polinomio. De igual forma, el Álgebra elemental señala que en los polinomios pueden identificarse cuatro elementos esenciales, cada uno de los cuales cuentan con su propia definición y función, las cuales podrían resumirse de la siguiente forma:

• Términos: es el nombre que recibe cada uno de los sumandos del polinomio, por lo que esta categoría estará conformada tanto por los monomios como por los términos independientes.
• Coeficientes: serán aquellos elementos numéricos que junto a las variables conforman los monomios del polinomio. Su misión es indicar cuál es la cantidad por la que deben multiplicarse las variables.
• Términos independientes: por su parte, con el nombre de términos independientes se distinguirán cada uno de los elementos numéricos, en donde no pueden encontrarse presencia de variables. Su grado será siempre igual a cero (0).
• Grado del polinomio: corresponde al elemento del polinomio, constituido por el grado de máximo valor, que pueda verse en alguno de sus términos. La forma de calcular el grado de un polinomio, dependerá de las características de esta expresión algebraica, puesto que si se trata de un polinomio de una sola variable bastará con revisar el valor del grado de cada exponente a los que se encuentran elevados los literales. Por el contrario, si el polinomio cuenta con más de una variable, para conocer los grados de cada término, se deberá sumar el valor de los exponentes de cada término, es decir, se deberá calcular sus grados absolutos, a fin de determinar el grado de mayor valor, el cual será asumido como el grado del polinomio.

Orden del polinomio

Así también, dentro del Álgebra elemental se distingue la definición de Orden del polinomio, o de Polinomio ordenado, la cual puede ser entendida como la operación algebraica orientada a disponer los términos de un polinomio en base al valor de los grados que puedan verse en ella. En este sentido, también se puede hablar de dos sentidos, en los que puede ser ordenado el polinomio: desde el menor de sus grados al mayor (orden ascendente) y desde el grado mayor hasta el menor de ellos (orden descendente).

Ejemplos de polinomios incompletos

Revisadas estas definiciones será mucho más sencillo entender entonces la naturaleza de este tipo de polinomio en donde no puede verse una secuencia completa de los valores de sus grados, una vez que la expresión ha sido ordenada. Empero, quizás la mejor forma de lograr la total comprensión de esta categoría de polinomios sea a través de ejemplos concretos, en donde pueda verse la puesta en práctica de las diferentes categorías. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x)= 6x⁵ + x³ + 8x + 6 determinar si es un polinomio incompleto
Lo primero que debe hacerse será revisar el polinomio, a fin de examinar cuántas variables pueden verse en él. Al hacerlo, se puede detectar que la expresión algebraica cuenta con una sola variables, y que además se trata de un polinomio ordenado de forma descendente, por lo que no se necesita realizar ninguna operación previa, antes de entrar a verificar que sus grados constituyan una secuencia completa o no. En este caso, se puede ver que el polinomio cuenta respectivamente con los siguientes grados: 5, 3, 1, 0, por lo que no se puede determinar que haya una secuencia en estos valores. De esta forma, se concluye que el polinomio es un polinomio incompleto.

Dado el polinomio P_(x,y) = 4x²y³  + 3xy – 2x – 5 determinar si es un polinomio incompleto
Por su parte, este polinomio cuenta con varias variables, por lo que para determinar si se trata de un polinomio incompleto, será necesario tomar como referente una letra ordenatriz. En este caso, se escogerá la x, organizando el polinomio de acuerdo al valor de los exponentes de esta variable:

P_(x,y) = 4x²y³  + 3xy – 2x – 5 → P_(x,y) = 4x²y³  + 3xy – 2x – 5

Sin embargo, se puede determinar que el polinomio tenía un orden descendente desde el principio. Si se toman los valores de los grado de x, se tendrá la secuencia 3,1,0, la cual al no ser consecutiva hará que el polinomio sea considerado como un polinomio incompleto.

Dado el polinomio P_(y)= 4 – 5y + 8y⁵ – 3y³ + y² determinar si es un polinomio incompleto
Analizando el polinomio, lo primero que puede verse es que se trata de un polinomio de una sola variable, el cual además no se encuentra ordenado, por lo que para determinar si se trata de un polinomio incompleto o no, se debe proceder a realizar su ordenamiento, el cual se hará de forma descendente, desde su grado de mayor valor, el cual es equivalente a 5:

P_(y)= 4 – 5y + 8y⁵ – 3y³ + y² →  P_(y)= 8y⁵ – 3y³ + y²– 5y  + 4

Una vez ordenado el polinomio, se procede a revisar la secuencia establecida por el valor de los grados de cada uno de los términos, concluyendo que esta no es consecutiva, por lo que el polinomio puede ser considerado como un polinomio incompleto.

Dado el polinomio P_(a,b,c)=  5 – ab⁴c² + 3ab² – 3a² determinar si se trata de un polinomio incompleto

En este caso, se trata de un polinomio de más de una variable, por lo que para conocer su orden se deberá escoger una letra ordenatriz. En este caso, se tratará de la variable b, por lo que serán el valor de sus exponentes los que determinen el orden del polinomio:

P_(a,b,c)=  5 – ab⁴c² + 3ab² – 3a² → P_(a,b,c)=  – ab⁴c² + 3ab² – 3a² + 5

Analizando el valor de los grados de cada término se tendrá la secuencia 4, 2,0, por lo que también se puede concluir que el Polinomio es incompleto.

Dado el polinomio P_(x) =  4 – 5x⁵ + x³ – 2x⁴ +9x² – x determinar si es un polinomio incompleto
Revisando este polinomio, se puede concluir en primera instancia que se trata de un polinomio de una sola variable, lo que hace que determinar los grados de cada término será tan sencillo como revisar los valores de cada uno de los exponentes. Igualmente, se puede ver que se trata de un polinomio desordenado, lo que hace que el siguiente paso sea ordenarlo:

P_(x) =  4 – 5x⁵ + x³ – 2x⁴ +9x² – x → P_(x) =  – 5x⁵ – 2x⁴ + x³ +9x² – x + 4

Una vez revisados los grados de cada uno de los términos, se tiene la secuencia 5,4,3,2,1,0, la cual puede ser descrita como consecutiva y completa, hecho que acarrea que el Polinomio no pueda ser identificado por un Polinomio incompleto, sino que por el contrario será un Polinomio completo.

Dado el polinomio P_(y)=  5y⁴ – y + 3 determinar si se trata de un polinomio incompleto

Para cumplir con la exigencia planteada en el postulado, será necesario revisar las características de esta expresión algebraica. Al hacerlo, se puede ver cómo este polinomio cuenta con una sola variable, y además se encuentra ordenado, teniendo una secuencia equivalente a 4,1,0, la cual es interpretada como una secuencia incompleta, por lo que el polinomio puede ser considerado como un polinomio incompleto.

Otros ejemplos de polinomios ordenados e incompletos pueden ser los siguientes:

P_(x)=  5x⁵ + 3x²  – x + 3

P_(x,y)=  3x³y² – 2xy² – x – 5 (polinomio incompleto según la letra ordenatriz x)

P_(a) =  5a⁵ – a³ + 10

P_(x) =  8x⁴ – 2x

P_(x)=  x⁶ – x⁴ + x² – 4

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