Definiciones fundamentales

Sin embargo, antes de avanzar sobre aquellos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de polinomios, quizás sea pertinente revisar algunas definiciones que sean necesarias para entender la naturaleza y cada uno de los elementos que constituyen este tipo de expresión algebraica. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio

En este sentido, lo mejor será comenzar por recordar que el Álgebra elemental concibe al Polinomio como un conjunto finito de monomios, los cuales establecen entre sí operaciones se suma (aun cuando también se permiten operaciones de resta y multiplicación) constituyendo expresiones algebraicas complejas. Igualmente, las distintas fuentes teóricas indican que los polinomios se encuentran compuestos por cuatro elementos fundamentales, cada uno de los cuales pueden definirse de la siguiente manera:

• Términos: nombre que reciben cada uno de los sumandos que conforman el polinomio, por lo que los términos podrán estar constituidos tanto por monomios como por términos independientes.
• Coeficientes: por su parte, los coeficientes serán aquellos elementos numéricos, que junto a la variable conforman los monomios del polinomio. Su función es indicar la cantidad por la cual se debe multiplicar las variables, en caso de asumir un valor numérico.
• Términos independientes: así mismo, con el nombre de Términos independientes serán conocidos los elementos numéricos que no se encuentran en compañía de ninguna variable.
• Grado: finalmente, el grado será un elemento del polinomio, conformado por el mayor valor que puede encontrarse en algunos de sus términos, bien si se trata de un polinomio de una variable en el cual será necesario simplemente revisar el valor de cada uno de los exponentes, a fin de determinar el mayor de ellos; o si es un polinomio de más de una variable, en el cual será imprescindible sumar los valores de los exponentes de cada término, para poder calcular el grado relativo de cada uno de ellos, a fin de determinar cuál es el mayor, es decir, el grado del polinomio.

Ordenamiento del polinomio

Por otro lado, se conocerá con el nombre de Ordenamiento del polinomio a la operación algebraica destinada precisamente a conocer el valor de los grados de cada término, para poder organizarlos posteriormente, siguiendo un orden secuencial de estos valores, bien sea de forma ascendente o descendente. Por lo general, este tipo de operación se realiza con el fin de determinar tanto si se trata de polinomios completos o incompletos, así como para colorar en la misma posición los términos semejantes de dos polinomios, antes de someter dichas expresiones a operaciones de suma, resta, multiplicación o división. Un ejemplo de cómo realizar la operación de ordenamiento puede ser los siguientes:

Dado el polinomio P_(x) = 5x² – 5 + 4x³ – x⁴ ordenarlo de forma descendente
Como se trata de un polinomio de una sola variable, se deberá proceder simplemente con revisar los exponentes a los que x se encuentra elevada en cada uno de los términos, después de lo cual deberán disponerse desde el de mayor grado hasta el menor de ellos:

 P_(x) = 5x² – 5 + 4x³ – x⁴ →   P_(x) = -x⁴ + 4x³ + 5x² – 5 (orden descendente)

Dado el polinomio P_(x,y,z) =  2x²yz² – xyz + 4 – 2x²y² – 3y³  ordenarlo de forma descendente
En cambio, si el polinomio cuenta con más de una variable, para ordenarlo será necesario escoger una letra ordenatriz, la cual servirá de guía para el ordenamiento del polinomio. En este caso, se escogerá la variable x, evaluando entonces el valor de cada uno de sus grados, y disponiéndolos según el orden deseado, es decir, descendente:

P_(x,y,z) =  2x²yz² – xyz + 4 – 2x²y² – 3y³ →   P_(x,y,z) =  2x²yz² –2x²y²– xyz – 3y³+ 4

Ejemplos de polinomios ordenados

Con respecto a aquellas expresiones que pueden servir de ejemplo a polinomios ordenados, bien si tienen determinado orden de forma original, o si han sido dispuestos a través de una operación de ordenamiento (la cual implica determinar o calcular el grado de cada uno de los términos del polinomio, para después disponerlos de acuerdo al orden escogido) se pueden encontrar los siguientes:

P_(x)= 8x⁵ – x⁴ + 3x² – 7 (orden descendente)

P _(y) =  5 – y² – y³ +5y⁵ (orden ascendente)

P_{(x, y)} =   8 – 2xy⁴ + 3x²y² – 3x³ + x⁴y (orden ascendente, según la variable x)

P_(x,y,z) =  3xyz⁴ – xy²z³ + 2x²yz² – 8xyz – 5 (orden descendente, según la variable z)

P_(x)=  3x³ – x² + 4 (orden descendente)

P_(y) =  4 – 5x² (orden ascendente)

P_(x,y)=  3 + 5xy² – 8xy³ (orden ascendente, según la variable y)

P_(a) = a3 – a4  (orden ascendente)

P_(a,b) =  2ab³ – a³ + 3a³b² (orden ascendente, según la variable a)

P _(x)= 4 – x² – x³ + x⁴ – 2x⁵ (orden ascendente)

P_(x)=  5x⁴ – 3x² + 0x⁵ (orden descendente)

P(z) =  5z – 3 (orden descendente)

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