Es probable que, antes de avanzar sobre cada uno de los casos que puede servir de ejemplo a las propiedades que las Matemáticas han señalado con respecto a los subconjuntos dentro de la Intersección, sea necesario revisar algunos aspectos teóricos sobre esta operación, a fin de poder entender estas propiedades en su contexto adecuado.
Intersección de conjuntos
Por consiguiente, se puede comenzar por decir que la Intersección de conjuntos ha sido definida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en la cual dos conjuntos establecen entre sí una intersección, de la que se origina un conjunto en donde pueden contarse como elementos aquellos que resultan comunes a los elementos que han participado en la operación. Es decir, que dado un conjunto A y un conjunto B, al realizar una operación de Intersección, se construiría un nuevo conjunto A∩B conformado por aquellos elementos que se pueden encontrar tanto en el conjunto A, como en el conjunto B. Igualmente, las distintas fuentes teóricas han señalado que la notación de esta operación del Álgebra de Conjuntos se encuentra establecida en base al signo ∩, siendo expresada matemáticamente de la siguiente forma: A∩B=.
Ejemplos de Propiedades de subconjuntos en la Intersección
Así mismo, el Álgebra de conjuntos ha identificado ciertas propiedades matemáticas en torno a esta operación, siendo alguna de ellas las que rigen la existencia o tratamiento que se da sobre los subconjuntos que pueden observarse en los conjuntos participante de la operación, así como en el propio conjunto que se origina a raíz de este. No obstante, la forma más eficiente de acercarse al concepto de cada una de estas propiedades puede ser a través de la exposición de algunos ejemplos que ayuden a ver cómo estas definiciones son llevadas a la práctica:
Propiedad sobre los subconjuntos de A y B
La primera propiedad que puede señalarse será aquella que refiere a cómo el conjunto que se genera en base a una operación de Intersección puede ser considerado a su vez un subconjunto de cada conjunto, situación que es fácilmente explicable cuando se recuerda que el conjunto que surge de una operación de intersección está conformado por elementos comunes a los conjuntos con los que se realiza esta operación, es decir, que están contendidos en cada uno de ellos. Con respecto al caso que podría servir de ejemplo para este tipo de propiedad, se encuentran el siguiente:
Dado un conjunto A, constituido por instrumentos musicales que comiencen por la letra “v”: A= {Violín, Viola, Violonchelo, Vuvuzela} y un conjunto B, conformado por instrumentos musicales de cuerda: B= {Guitarra, Cuatro, Violón, Viola, Piano, Bandolina} comprobar cómo se cumple la propiedad que indica que el conjunto proveniente de la Intersección de conjuntos puede ser considerado como un subconjunto de los objetos que han participado de la operación.
Para esto será necesario realizar entonces la Intersección de conjuntos, a fin de obtener el conjunto conformado a raíz de esto:
A= {Violín, Viola, Violonchelo, Vuvuzela}
B= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola, Piano, Bandolina}A∩B=
A∩B= {Violín, Viola, Violonchelo, Vuvuzela} ∩ {Guitarra, Cuatro, Violón, Viola, Piano, Bandolina}
A∩B= {Violín, Viola}Al hacerlo, se obtiene un conjunto que fácilmente puede ser identificado como un subconjunto de A y de B, por lo que se puede decir que la propiedad ha sido comprobada, puesto que se ha cumplido lo que indica su expresión matemática:
A ∩ B ⊆ A,B
Propiedad sobre la Intersección de un subconjunto de A
Entre otra de las propiedades que puede encontrarse en la Intersección de conjuntos, respecto a los subconjuntos, se encuentra aquella que establece que todo conjunto A que establezca una operación de Intersección con un conjunto B, el cual pueda ser identificado también como un subconjunto de A, originará un conjunto que coincida totalmente con B, por lo que se dice entonces que B queda intacto. Un ejemplo de cómo se traduce a la práctica esta propiedad puede ser la siguiente:
Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos nombres masculinos que comiencen por la letra “a”: A= {Armando, Atanasio, Aarón, Abdón, Alejandro, Abelardo} y un conjunto B, conformado por aquellos nombres masculinos que terminan en la letra “o”: B= {Armando, Atanasio, Alejandro, Abelardo} establecer una operación de Intersección, a fin de comprobar esta propiedad sobre B como subconjunto de A.
A fin de dar cumplimiento a la solicitud de este postulado, será necesario entonces realizar dicha operación:
A= {Armando, Atanasio, Aarón, Abdón, Alejandro, Abelardo}
B= {Armando, Atanasio, Alejandro, Abelardo}A∩B=
A∩B= {Armando, Atanasio, Aarón, Abdón, Alejandro, Abelardo} ∩ {Armando, Atanasio, Alejandro, Abelardo}
A∩B= {Armando, Atanasio, Alejandro, Abelardo}
Una vez realizada esta operación, se puede ver cómo el conjunto resultante coincide plenamente con el conjunto B, lo que indica por un lado que en efecto B ⊆ A, y que al someter a estos conjuntos a una operación de intersección el conjunto que se obtiene será igual a B, situación que se puede expresar igualmente de la siguiente forma:
A ⊆ B → A ∩ B= B
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