Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede entonces que sea también necesario delimitar esta revisión teórica a seis definiciones específicas: Recta, Segmentos, Razones, Proporciones, Razones entre segmentos y Proporciones entre segmentos, por encontrarse directamente relacionadas con los casos que se verán después. A continuación, cada una de estas definiciones:

Recta

De esta manera, se comenzará por decir que la Recta ha sido explicada por las distintas fuentes geométricas como una de las figuras básicas unidimensionales, la cual puede ser definida como una sucesión infinita de puntos, en los que debe existir la misma dirección u orientación. Por igual, la Recta –de acuerdo a lo que han señalado algunos autores- cuenta también con las siguientes características:

• Al ser una sucesión infinita de puntos, pues la Recta es también infinita, es decir, que no cuenta ni con un punto de origen, ni con un punto final.
• Por otro lado, la Recta también será considerada como la distancia más corta entre dos puntos, así como el único tipo de figura que puede pasar a través de ellos, hecho que puede conseguir una sola vez por vez.
• Pese a que los puntos que conforman la Recta deben contar con igual sentido, esta figura en realidad puede tener dos distintos sentidos, lo cual dependerá de la lectura que se haga sobre ella.
• Por último, la Recta se distinguirá por ser denominada por una letra minúscula.

Segmento

En cuanto al concepto de Segmento, la Geometría lo ha explicado como una fracción de Recta, comprendida entre dos puntos específicos, que se trazan sobre esta figura. Por consiguiente, a diferencia de la Recta, el Segmento será finito, puesto que contará con un punto de partida y uno de origen. Así mismo, los Segmentos –a diferencia de la Recta- serán denominados con letras mayúsculas.

Razones

Por igual, será menester tomar un momento para revisar el concepto de Razones, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como la expresión que da cuenta respecto al cociente que existe entre dos números, es decir, que las Razones vienen a expresar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor entre el Dividendo. Un ejemplo de Razones serán las siguientes:

También, las Matemáticas han indicado que las Razones se encontrarán conformadas por dos distintos elementos: el Antecedente, el cual ocupa el ámbito superior de la razón, al tiempo que se encarga de señalar el Dividendo; y el Consecuente, elemento que se sitúa o que constituye el ámbito inferior de la expresión, mientras cumple con la tarea de señalar al Divisor.

Otro punto importante que señalan las Matemáticas sobre las razones es la precaución de no confundir esta expresión con las fracciones, ya que si tienen cierto parecido en cuanto a sus apariencias, en realidad, corresponden a diferentes expresiones matemáticas. De esta manera, las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- darán cuenta del Cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- servirán para señalar cuántas partes se han tomado de una unidad que se encuentra a su vez dividida en varias partes.

De igual manera, las Matemáticas han indicado también que mientras las Razones pueden tener como antecedentes y consecuentes números enteros y decimales, en las Fracciones sus elementos sólo podrán estar conformados por número enteros, y en ningún caso por números decimales.

Proporciones

Así mismo, se deberán lanzar luces sobre el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Por ende, se entenderá entonces que dos razones proporcionales son dos razones iguales. A continuación, un ejemplo de razones proporcionales:

En este caso, se podrá observar cómo aun cuando ninguno de los elementos que conforman las razones coincide entre sí con respecto a su valor, estas expresiones pueden ser consideradas como iguales, en tanto que si ambas se resolvieran, en las dos oportunidades se obtendría un cociente igual a 2. Por lo tanto, ambas razones pueden considerarse expresiones del mismo cociente, por lo que entonces podrán considerarse como razones proporcionales o iguales.

Sin embargo, este no es el único método que conciben las Matemáticas para poder comprobar si dos razones son proporcionales o no. De esta manera, también podrá aplicarse con este propósito el método de los Extremos y los Medios. Para esto bastará entonces con multiplicar entre sí los Extremos –el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- así como los Medios –el Antecedente de la primera expresión por el Consecuente de la segunda razón. Si en ambos casos, se obtiene igual producto, entonces las razones pueden considerarse proporcionales:

Este atributo es conocido en las Matemáticas como una de las principales leyes de la Proporcionalidad, y resulta bastante útil si se quisiera conocer alguno de los elementos de la proporción, que resultara desconocido. Para hacerlo bastaría entonces con multiplicar entre sí los elementos del ámbito que resulta completo, para luego dividir este producto entre el elemento que del ámbito que se desea completar:

Razones entre segmentos

Por otro lado, también será necesario tomar en consideración el concepto de Razones entre segmentos, las cuales pueden ser consideradas básicamente como el cociente establecido entre las medidas de dos segmentos.

Proporciones entre Razones de dos segmentos

Por último, se pasará revista también sobre el concepto de Proporciones entre Razones de dos segmentos, las cuales serán entendidas entonces como las Razones de dos segmentos que resultan iguales entre sí, por ser expresiones del mismo cociente. Al igual que las proporciones entre Razones, en las Proporciones entre Razones de dos segmentos se cumplen las leyes de la proporcionalidad.

Ejemplos de Razones y proporciones entre segmentos

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar algunos ejemplos respecto a las Razones y Proporciones que pueden darse en torno a las medidas de distintos segmentos. A continuación, algunos casos:

Ejemplo 1

En primer lugar, se abordará entonces un ejemplo de Razones entre dos segmentos. Si en un supuesto se tuvieran los siguientes segmentos:

Cuyas medidas fueran las siguientes:

A = 4
B = 8

Entonces se tendría que la razón de estos dos segmentos sería la siguiente:

Ejemplo 2

En el caso de las proporciones entre razones de dos segmentos, se necesitará entonces cuatro segmentos, entre los que se establezcan razones, para luego compararlas y comprobar si realmente existe proporción entre ellas. Un ejemplo de esto será el siguiente:

Si se tuvieran los siguientes segmentos:

Cuyas medidas correspondientes fuesen las que se expresan a continuación:

A = 8
B= 4
C = 10
D = 5

Y se quisiera establecer razones entre los segmentos A y B, así como entre los segmentos C y D, se tendría entonces lo siguiente:

En el momento en que se quiera establecer si estas razones entre segmentos resultan realmente proporcionales o iguales, entonces se deberá proceder a resolver los cocientes que cada una de ellas expresa:

Al hacerlo, se comprueba que efectivamente las dos razones entre segmentos son iguales, o proporcionales, relación estaque se puede expresar tal como se muestra a continuación:

No obstante, esta no es la única forma en que puede determinarse si dos razones entre segmentos resultan iguales o proporcionales entre sí, puesto que también se podrá establecer el métodos de los Extremos y los Medios, es decir, multiplicar el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda, así como el Consecuente de la primera expresión por el Antecedente de la segunda expresión:

Hecho este procedimiento, y obtenido en ambas multiplicaciones el mismo producto, se concluye entonces que estas razones ciertamente son proporcionales, o iguales.

Ejemplo 3

La proporción entre razones de dos segmentos puede resultar bastante útil a la hora de tener una serie de segmentos cuyas razones sean proporcionales, y en donde de repente se desconozca alguna de las medidas de uno de los segmentos. Un ejemplo de esta utilidad de las Proporciones entre segmentos de dos razones puede ser el siguiente:

Suponiendo que se tienen los siguientes segmentos:

Cuyas medidas sean correspondientes a los siguientes valores:

A = 12 cm
B = 4 cm
C = 9 cm
D = x

Y en donde además de desconocerse la medida de D, se supiera que los segmentos A y B, así como C y D conforman razones entre dos segmentos, las cuales además son proporcionales, entonces para conocer la medida del segmento D, se necesitaría simplemente construir o expresar las razones entre estos segmentos:

Hecho esto, se procederá entonces a plantear igualmente la Proporción entre las razones de estos segmentos:

Al hacerlo, se observa cómo la proporción no está completa, puesto que se requiere entonces despejar el elemento que se presenta como incógnito. Para esto, aplicando la segunda Ley de la proporción, se procede a multiplicar los elementos del ámbito que se encuentra completo, para luego dividir el producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Despejado el ejercicio, se determina que el segmento D tiene una medida igual a 3 cm. Así mismo, si se quisiera comprobar si la proporción se ha completado correctamente, será necesario simplemente aplicar el método de los extremos y de los medios:

Como se obtiene el mismo producto en ambos casos, se considera que la proporción ha sido completada correctamente, al tiempo de que se determina la medida correspondiente al segmento que se presentaba como incógnito. Por ende, se pueden expresar las medidas de los segmentos dados:

A = 12 cm
B = 4 cm
C = 9 cm
D = 3 cm

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