Razones y proporciones entre segmentos

Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que también sea conveniente delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Recta, Segmento, Razones y Proporciones, por encontrarse directamente relacionadas con las relaciones matemáticas que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Recta

Por consiguiente, se comenzará por decir entonces que la Recta ha sido definida por las distintas fuentes matemáticas como una sucesión infinita de puntos, los cuales se encuentran dispuestos en la misma dirección. Así mismo, los diferentes autores señalan que la Recta cuenta también con las siguientes características:

• Al ser una sucesión infinita de puntos, ella también es infinita, es decir, que no tiene ni punto de partida no final.
• Pese a que los puntos que la conforman deben estar orientados en el mismo sentido, la Recta en realidad puede tener dos diferentes sentido, dependiendo de la lectura que se haga de ella.
• Por otro lado, la Recta también se distinguirá por nombrarse siempre con una letra minúscula.
• Finalmente, la Recta es considerada también como la distancia más corta que puede existir entre dos puntos, al tiempo que la Geometría afirma que entre dos puntos solo puede pasar una recta por vez.

Segmento

En segundo lugar, el Segmento es una porción de Recta, la cual surge en esta sucesión infinita de puntos, siempre que en ella se establecen dos puntos, que constituirán a su vez para el segmento un punto de partida y uno de final, puntos estos dentro de los cuales queda comprendido el Segmento. En consecuencia, el Segmento se diferencia de la Recta por ser finito, teniendo un punto de inicio y un punto final. Otra diferencia importante será la de que mientras la Recta se identifica con una letra minúscula, el Segmento lo hace con una letra mayúscula.

Razones

De igual manera, será preciso tomar un momento para pasar revista sobre el concepto de Razones, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes como el cociente que existe entre dos números, es decir, que vienen a señalar cuántas veces se encuentra contenido el Dividendo dentro del Divisor. Algunos ejemplos de razones pueden ser las siguientes:

Así mismo, las Matemáticas han explicado que las razones se encuentran conformadas por dos elementos: el Antecedente, que ocupa el ámbito superior de esta expresión matemática, y cuya función es expresar el Dividendo; así como el Consecuente, elemento de la razón que ocupa la parte inferior de la expresión, mientras que su tarea es indicar cuál es el Divisor, que conduce al Cociente que señala la Razón.

Por otro lado, es importante señalar también que pese al parecido que sostienen las Razones con las Fracciones, estas no deben confundirse, por tratarse de expresiones diferentes. Por consiguiente, mientras las Razones –constituidas por el Antecedente y el Consecuente- se encargan de señalar cuál es el cociente entre dos números, las Fracciones –conformadas por el Numerador y el Denominador- cumplen con la misión de indicar cuántas partes se han tomado de una unidad, dividida en partes iguales.

Proporciones

Finalmente, será también de provecho revisar la definición que han dado las Matemáticas respecto a las Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existen entre dos Razones. Ergo, dos razones proporcionales serán dos razones iguales. Un ejemplo de esta relación puede ser la siguiente:

Pese a que ninguno de los elementos que conforman estas razones coinciden entre sí, ambas expresiones pueden considerarse iguales, o proporcionales, en tanto que si se resolvieran arrojarían el mismo cociente. Es decir, estas razones son proporcionales puesto que constituyen expresiones del mismo cociente.

No obstante, este no es el único método que reconocen las Matemáticas para determinar si dos razones son o no son iguales. En tal sentido, también se podrá optar por aplicar el método de los extremos y los medios. Para esto, se multiplicarán entre sí los Extremos – el Antecedente de la primera expresión por el Consecuente de la segunda- así como los Medios –el Consecuente de la primera razón por el Antecedente de la segunda expresión. Si ambos productos coinciden en su valor, las razones se consideran proporcionales o iguales:

A este atributo de las razones iguales se le conoce como una de las principales leyes de la Proporción, y resulta bastante útil siempre que se necesite conocer alguno de los elementos de una proporción, que puedan presentarse como desconocidos. Para esto se deberá entonces simplemente multiplicar los elementos del ámbito que se encuentra completo, tanto si se encuentra constituido por los medios o los extremos, para dividir este producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Razones y proporciones entre segmentos

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las Razones y proporciones entre segmentos. Sin embargo, para facilitar la comprensión de estos conceptos, lo mejor será dedicarle un momento a cada uno de ellos:

Razones de dos segmentos

En primer lugar, se tomará en cuenta entonces la definición de Razones de dos segmentos. Al respecto, las Matemáticas han señalado que así como las Razones numéricas pueden ser consideradas como expresiones del cociente entre dos números, las Razones entre dos segmentos serán entendidas como el cociente de sus respectivas medidas. Por ejemplo, si se tienen los siguientes segmentos:

Y suponiendo que estos segmentos cuenten con medidas correspondientes a las siguientes:

A = 5 cm
B = 2 cm

Entonces se entenderá que la Razón entre estos dos segmentos será la siguiente:

Proporciones entre las Razones de dos segmentos

Por su parte, se entenderá que la Proporción entre las Razones de dos segmentos será entonces la relación de igualdad que exista respecto a las razones de dos segmentos. Un ejemplo de esto será el siguiente:

Suponiendo que se tienen los siguientes segmentos:

Los cuales tienen las siguientes medidas:

A =  8 cm
B = 4 cm
C = 10 cm
D = 5 cm

Y se quiere crear razones entre los segmentos A y B, así como entre los segmentos C y D. Entonces, se tendrán las siguientes razones:

Teniendo estas razones, se deberá entonces determinar su proporcionalidad, recurriendo al método de los medios y los extremos, tal como se haría en un ejercicio de razones numéricas:

Al multiplicarse entre sí los medios y los extremos se obtiene entonces iguales resultados. Por ende, estas razones entre segmentos se consideran proporcionales, relación que se podrá expresar de la siguiente forma:

Otra forma de determinar la proporción sería resolver en ambas razones el cociente planteado.

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