Definición de Intersección

En consecuencia, quizás el primer concepto que deba traerse a colación sea la propia definición de Intersección de conjuntos, pues es en ella donde se cumple la propiedad del Elementos absorbente. En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que la Intersección de conjuntos ha sido definida por el Álgebra de conjuntos como una operación básica, en donde dos o más conjuntos establecen entre ellos –como su nombre lo indica- una intersección, conformando un conjunto en donde se pueden contar como elementos aquellos que resultan comunes a cada uno de los conjuntos que han participado de la operación. Con respecto a su notación, las distintas fuentes señalan que esta operación puede ser expresada de la siguiente manera:

A∩B=

Propiedad del Elemento absorbente

De igual manera puede ser importante llamar la atención sobre el concepto que da el Álgebra de conjuntos sobre la propiedad del Elemento absorbente, la cual puede ser definida a su vez como la ley que dicta que todo conjunto que establezca una operación de Intersección con el Conjunto vacío –el cual cumple el papel de elemento neutro- dará como resultado el Conjunto vacío. Así mismo, las distintas fuentes han explicado que esta ley responde a una razón, y es que en el momento de comparar elementos, no existirá coincidencia alguna entre los elementos del conjunto y los del Conjunto vacío, los cuales no existen. Por consiguiente, al crearse un conjunto en donde no hay elementos, se asume que la operación ha dado como resultado al propio Conjunto vacío. Por su parte, esta propiedad contaría con la expresión que se muestra a continuación:

A∩∅= ∅

Ejemplos del Elemento absorbente (Intersección de conjuntos)

Teniendo presente estas definiciones, será mucho más sencillo entender la terminología y las expresiones que se encontrarán a continuación, en cada uno de los casos que se expondrán como ejemplos de la Propiedad del Elemento neutro en la operación de Intersección de conjuntos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas cítricas: A= {Pomelo, Naranja, Lima, Limón, Mandarina, Maracuyá, Toronja} establecer una operación de Intersección con el Conjunto vacío, a fin de comprobar la Propiedad de Absorción con respecto a esta operación:

Para cumplir con la misión solicitada en el postulado, se deberá comenzar por llevar a cabo la operación de intersección entre estos dos conjuntos, lo cual podría expresarse de la manera siguiente:

A= {Pomelo, Naranja, Lima, Limón, Mandarina, Maracuyá, Toronja}
∅ = { }

A ∩ ∅=

{Pomelo, Naranja, Lima, Limón, Mandarina, Maracuyá, Toronja} ∩ ∅= ∅

Al entrar a comparar los elementos de cada conjunto, a fin de poder establecer los elementos comunes entre ellos, se encontrará que tal coincidencia no existe, por lo que el conjunto que se crea en base a esta operación no tendrá en él ningún elemento, por lo que se considerará como el Conjunto vacío. Por ende, se ha comprobado la Propiedad del Elemento Absorbente:

A ∩ ∅= ∅

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, constituido por el nombre de cantantes de Rock argentinos: B= {Fito Páez, Andrés Calamaro, Charlie García, Spinetta, Gustavo Cerati} comprobar cómo se cumple la Propiedad del Elemento absorbente con respecto a la Intersección de conjuntos.

A fin de realizar lo que solicita el postulado, será necesario establecer una operación de Intersección entre este conjunto y el Conjunto vacío, a fin de comprobar que al hacerlo realmente se produce como resultado el mismo Conjunto vacío:

B= {Fito Páez, Andrés Calamaro, Charlie García, Spinetta, Gustavo Cerati}
∅ = { }

B ∩ ∅=

{Fito Páez, Andrés Calamaro, Charlie García, Spinetta, Gustavo Cerati} ∩ ∅= ∅

En el momento de establecer esta operación, se buscará revisar los elementos de cada conjunto, para así determinar cuáles coinciden. Sin embargo, al hacerlo –ya que el Conjunto vacío no tiene ningún elemento- no habrá coincidencia alguna, por lo que el conjunto que se establece tampoco tiene elementos, de ahí que se concluya que la operación ha dado como resultado al propio Conjunto vacío:

B ∩ ∅= ∅

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, en donde puedan contarse como elementos números pares: C= {2, 14, 16, 20, 6, 18, 24, 30} revisar si al someterla a una operación de Intersección con el Conjunto vacío en realidad puede hablarse de la propiedad del Elemento absorbente:

En este caso, será igualmente necesario establecer en primera instancia la operación de Intersección entre estos dos conjuntos:

C= {2, 14, 16, 20, 6, 18, 24, 30}
∅= { }

C ∩ ∅=

{2, 14, 16, 20, 6, 18, 24, 30} ∩ ∅= ∅

Al realizar la operación de Intersección entre estos dos conjuntos, no podrá hallarse ningún elemento en común, pues un conjunto está conformado por números pares, mientras que el otro conjunto, en realidad no tiene elementos. En consecuencia, el conjunto que se genere de esta operación tampoco tendrá ningún elemento dentro de él, por lo que se afirma entonces que el resultado es el propio Conjunto vacío, hecho que además viene a comprobar una vez más la Propiedad del Elemento absorbente:

C ∩ ∅= ∅

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