Propiedad sobre el carácter disconjunto de A y A^∁

En este sentido, se puede comenzar por recordar que el Álgebra de Conjuntos define a los conjuntos disjuntos como aquellas colecciones entre las cuales no se puede encontrar ningún elemento en común. Por consiguiente, la Propiedad sobre el carácter disjunto de A y A^∁ rezará textualmente que todo conjunto será disjunto con su complementario, lo cual puede explicarse al reflexionar sobre la propia definición de Conjunto complementario, entendido como aquel conjunto conformado por todos aquellos elementos que no pueden encontrarse en el conjunto dado, teniendo como relación el Conjunto Universal. Así mismo, en términos matemáticos, el Álgebra de Conjuntos también señala que el carácter disjunto de estas colecciones puede ser comprobado si se somete al conjunto y su complementario a una operación de intersección, pues esta arrojará como resultado el Conjunto vacío, lo cual demuestra cómo entre ellos no existe ningún elemento en común:

A ∩ A^∁ = ∅

Ejemplos sobre el carácter disjunto de A y A^∁

Sin embargo, quizás la mejor forma de explicar el cómo se cumple esta propiedad existente entre el conjunto y su complementario, sea a través de la exposición de casos concretos que puedan servir de ejemplo, como estos que se muestran a continuación:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres masculinos que comiencen por la letra “e”: A= {Eduardo, Erick, Eleazar, Evelio, Ernesto} comprobar si realmente se cumple la Propiedad sobre el carácter disjunto de A y A^∁, teniendo también como referencia el Conjunto Universal para este caso: U= {Enrique, Eduardo, Erick, Edwin, Evelio, Ernesto, Edmundo, Efraim, Eleazar}

Para cumplir con la solicitud hecha en este postulado, se debe comenzar por determinar cuál es el Conjunto complementario de A, lo cual se hará estableciendo una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el propio conjunto A:

A= {Eduardo, Erick, Eleazar, Evelio, Ernesto}
U= {Enrique, Eduardo, Erick, Edwin, Evelio, Ernesto, Edmundo, Efraim, Eleazar}

A^∁= U\\A
A^∁= {Enrique, Eduardo, Erick, Edwin, Evelio, Ernesto, Edmundo, Efraim, Eleazar} \\ {Eduardo, Erick, Eleazar, Evelio, Ernesto}
A^∁= {Enrique, Edwin, Edmundo, Efraim, Eleazar}

Obtenido el Conjunto complementario de A, se deberá entonces establecer una operación de intersección entre A y A^∁, con el fin de establecer si existen o no existen elementos en común entre ellos:

A= {Eduardo, Erick, Eleazar, Evelio, Ernesto}
A^∁= {Enrique, Edwin, Edmundo, Efraim, Eleazar}

A ∩ A^∁= {Eduardo, Erick, Eleazar, Evelio, Ernesto} ∩ {Enrique, Edwin, Edmundo, Efraim, Eleazar}

A ∩ A^∁= ∅

Al hacerlo, se obtiene como resultado el Conjunto vacío, pues entre A y A^∁  no existen elementos en común, por lo que se considera entonces comprobada la Propiedad sobre el carácter disjunto del conjunto y su complementario.

Ejemplo 2

Dado el Conjunto complementario, conformado por todas las frutas que comienzan por la letra “m” y que no pudieron hallarse en el conjunto B: B^∁= {Mandarina, Manzana, Merey, Maní} comprobar si entre este conjunto complementario y el conjunto dado existe o no una relación de disjuntividad, teniendo en cuenta que el Conjunto Universal es el siguiente: U= {Melón, Mango, Mangostino, Mandarina, Manzana, Mamoncillo, Merey, Maní}

Aunque resulte un poco atípico, también se puede calcular cual es el Conjunto, si se cuenta con su complementario y con el Conjunto Universal. En este caso, se deberá establecer igualmente una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el complementario, cuyo resultado podrá interpretarse como el Conjunto:

B^∁= {Mandarina, Manzana, Merey, Maní}
U= {Melón, Mango, Mangostino, Mandarina, Manzana, Mamoncillo, Merey, Maní}

B = U\\ B^∁
B= {Melón, Mango, Mangostino, Mandarina, Manzana, Mamoncillo, Merey, Maní} \\ {Mandarina, Manzana, Merey, Maní}
B= {Melón, Mango, Mangostino, Mamoncillo}

Obtenido el Conjunto, se deberá establecer entre él y el Conjunto complementario una operación de intersección, a fin de poder ver si entre ellos existe algún elemento en común:

B= {Melón, Mango, Mangostino, Mamoncillo}
B^∁= {Mandarina, Manzana, Merey, Maní}

B ∩ B^∁ =
B ∩ B^∁ = {Mandarina, Manzana, Merey, Maní} ∩ {Mandarina, Manzana, Merey, Maní}
B ∩ B^∁ = ∅

Igualmente, en esta oportunidad no ha podido encontrarse ningún elemento común entre el Conjunto y su complementario, por lo que se considera comprobada la propiedad sobre el carácter disjunto de estas colecciones.

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, en donde se pueden contar como elementos instrumentos musicales de percusión: C= {Xilófono, Campana, Triángulo, Maracas, tambor} y su conjunto complementario C^∁ = {Bongó, Pandereta, Castañuelas, Timbales, Marimba, Caja} comprobar si entre ellos se cumple la propiedad sobre su carácter disjunto.

Para cumplir con la solicitud hecha en este postulado, y ya que se conocen tanto el Conjunto como su Complementario, se deberá entonces proceder a realizar una operación de Intersección, para verificar entonces sí existen o no entre ellos elementos en común:

C= {Xilófono, Campana, Triángulo, Maracas, Tambor}
C^∁ = {Bongó, Pandereta, Castañuelas, Timbales, Marimba, Caja}

C ∩ C^∁ =
C ∩ C^∁ = {Xilófono, Campana, Triángulo, Maracas, Tambor} ∩ {Bongó, Pandereta, Castañuelas, Timbales, Marimba, Caja}

C ∩ C^∁ = ∅

Al revisar ambos conjuntos no se puede hallar un solo elemento en común, por lo que la operación de Intersección arroja como resultado el Conjunto vacío, al tiempo que se comprueba el carácter disjunto que tienen el Conjunto y su complementario.

Imagen: pixabay.com