Propiedades sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario

Definiciones fundamentales

En este sentido, quizás lo mejor sea comenzar por el propio concepto de Conjunto, a fin de poder tener claro la naturaleza del objeto matemático en base al cual se produce esta propiedad. Así mismo, puede que sea necesario revisar las definiciones de los tipos de conjuntos relacionados a la relación de complemento, así como sobre aquellos que pueden encontrarse en esta ley sobre los subconjuntos en el complemento del conjunto. A continuación, las definiciones:

Conjunto

En primer lugar, entonces, se puede traer a capítulo la definición que dan las distintas fuentes matemáticas sobre el Conjunto, el cual es entendido como un grupo de elementos, que pueden considerarse como parte de la misma naturaleza, debido a que todos comparten un rasgo en común, de ahí que puedan ser vistos también como una colección abstracta. Por otro lado, las Matemáticas han señalado que el Conjunto es un objeto que cuenta con la principal característica de encontrarse conformado y definido, de forma única y exclusiva, por sus elementos.

Conjunto Complementario

Por otro lado, puede que resulte pertinente revisar igualmente la definición de Conjunto complementario, el cual es visto por el Álgebra de Conjuntos como aquella colección en donde se pueden encontrar todos aquellos elementos que no están en el Conjunto, tomando en como referencia al Conjunto Universal. De esta manera, en términos matemáticos, se puede decir también que el Conjunto complementario es el resultado que se obtiene al realizar una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto, pues esta servirá para identificar todos aquellos elementos de U que no aparecen en A:

A^∁ = U\A

Subconjunto

Finalmente, también es necesario centrar la atención sobre la definición de Subconjunto, el cual es entendido por la matemática como toda colección conformada por conjuntos que se encuentren a su vez como parte de otro conjunto, por lo que se dice también que el Subconjunto se encuentra contenido en determinado conjunto. La forma de notación que corresponde a este tipo de conjuntos es la siguiente:

A ⊂ B

Propiedad sobre los subconjuntos en el Conjunto Complementario

Teniendo estas definiciones presentes, quizás entonces sea mucho más sencillo abordar la Propiedad matemática sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario, la cual reza que en todo momento y bajo cualquier circunstancia el Conjunto complementario de A está a su vez contenido, es decir, es un subconjunto  del  complementario de cualquier subconjunto de A, relación que puede ser expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

Lo cual se lee a su vez: Si B es un subconjunto de A entonces el Complemento de A es a su vez un subconjunto del complementario de B.

Ejemplo de la propiedad de subconjuntos en la complementariedad

No obstante, tal vez sea necesario todavía reflexionar sobre un ejemplo concreto en donde pueda verse cumplida esta propiedad, a fin de poder entender de forma cabal su significado matemático. A continuación, uno de ellos:

Dado un conjunto A, constituido por nombre de frutas que comiencen por la letra “g”: A= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas} y un conjunto B, que puede ser identificado como un subconjunto de A: B= {Guayaba, Granada, Granadilla} comprobar si entre ellos se cumple la propiedad sobre los subconjuntos en la complementariedad de conjuntos, teniendo en cuenta además que ambas colecciones tienen como referencia al Conjunto Universal, que es este caso, sería el siguiente: U= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}.

Para cumplir con este postulado, se debería en primer lugar traer a colación la expresión matemática de la propiedad a comprobar, para así tener presente también las operaciones que deberán ir realizándose:

 B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

De esta forma, lo primero que puede hacerse entonces es comprobar si en efecto B se encuentra contenido en B, por lo que se deberán revisar sus elementos:

A= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas}
B= {Guayaba, Granada, Granadilla}

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo ciertamente todos los elementos que forman parte de B, de manera absoluta se encuentran dentro de B, por lo que entonces B es un subconjunto de A:   B ⊂ A

Hecho esto, para seguir así con las operaciones que pueden encontrarse en la propiedad, se deberán determinar los conjuntos complementarios tanto de A como de B, para lo que se tomará como referencia el Conjunto Universal. En este sentido, para determinar el complementario de A será necesario realizar una operación de Diferencia entre U y este conjunto, a fin de obtener A^∁:

A= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas}
U= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}

A^∁= U\A
A^∁= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba} \ {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas}

A^∁= {Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}

Con la misma operación, se determinará cuál es el complemento de B:

B= {Guayaba, Granada, Granadilla}
U= {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}

B^∁ = U \ B
B^∁ = {Guanábana, Guayaba, Granada, Granadilla, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba} \ {Guayaba, Granada, Granadilla}

B^∁ = {Guanábana, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}

Obtenidos ambos complementarios, deberán compararse, para determinar si ciertamente el complemento de A es o no un subconunto del complemento de B:

A^∁= {Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}
A^∁= {Guanábana, Grosellas, Guama, Guaraná, Gaandaria, Gayuba}

En efecto, al comparar los elementos de cada uno de estos conjuntos complementarios, se puede observar cómo todos los que conforman A^∁ se encuentran contenidos de forma plena en A^∁, por lo que entonces:

A^∁ ⊂ B^∁

Lo que a su vez se comprobaría la Propiedad sobre los subconjuntos en la complementariedad de conjuntos, por lo que queda demostrado entonces:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

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