Ejercicios de amplificación y simplificación de fracciones

Definiciones fundamentales

Sin embargo, puede que también sea prudente enfocar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Números enteros, fracciones, fracciones equivalentes, amplificación y simplificación de fracciones, por encontrarse directamente relacionadas con los distintos procedimientos que se mostrarán posteriormente. A continuación, cada uno de ellos:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir entonces que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos por medio de los cuales logra darse expresión escrita a las distintas cantidades exactas, o incluso a la ausencia de ellas. Por igual, la disciplina matemática ha señalado también que los Números enteros pueden entenderse como los elementos constitutivos del conjunto numérico Z, en donde además esta materia ha señalado la existencia de tres distintos elementos, explicados a su vez de la siguiente manera:

• Enteros positivos: en primer lugar, se encontrarán los enteros positivos, elementos que  también se considerarán como constituyentes de los Números naturales. Por ende, los enteros positivos serán empleados respectivamente para expresar por escrito cantidades exactas, contar los elementos de un conjunto, o asignarles una posición o jerarquía que les permita ordenarse. Estos números son ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, punto desde donde se extienden al infinito. Así mismo, cuentan con un signo positivo, el cual en ocasiones simplemente no se anota, dándose por entendido.
• Enteros negativos: por otro lado, dentro de los Números enteros, se encontrarán igualmente los enteros negativos, elementos que serán interpretados como inversos a los enteros positivos. En consecuencia, serán ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, desde donde se extenderán hacia el infinito, siempre en dirección contraria a la de los enteros positivos. Estos elementos, es decir, los enteros negativos contarán también con su propio signo: el signo negativo (-) el cual deberá anotarse siempre al lado del número para distinguirlo de su inverso. Los enteros negativos serán empleados para expresar la ausencia o deuda de cantidades exactas específicas.
• Cero: finalmente, dentro de esta colección, denominada conjunto numérico Z, también podrá contarse el cero, el cual se ubicará en la mitad de la Recta numérica, para servir de límite, y a la vez de punto de partida, tanto a números enteros positivos, como enteros negativos. Sin embargo, el cero no pertenecerá a ninguno de estos grupos, así como tampoco llevará ninguno de los dos signos, puesto que no es considerado un número como tal, sino un símbolo por medio del cual se expresa por escrito la ausencia plena de cantidad.

Fracciones

En segunda instancia, también será de provecho detenerse un momento en la definición de Fracciones, la cual puede ser vista como una de las expresiones escritas con las que cuentan los Números racionales. Así mismo, la fracción será entendida como el cociente entre dos números enteros, en donde cada elemento es definido según su posición y su tarea dentro de la expresión, siendo explicados respectivamente de la siguiente manera:

• Numerador: en primer lugar, se encontrará el numerador, el cual será el elemento que ocupa la parte superior de la expresión. Por otro lado, el Numerador tendrá como tarea el señalar cuántas partes del todo han sido tomados o expresadas por la fracción.
• Denominador: en cuanto al Denominador, este será el elemento que constituya la parte inferior de la fracción. Su misión será la de indicar en cuántas partes se encuentra dividido el todo, o la unidad, del cual se ha tomado apenas una parte, señalada por el numerador.

Fracciones equivalentes

Por otra parte, se considerarán como Fracciones equivalentes a aquellas que aun no teniendo los mismos valores en sus términos, en realidad, refieren a las mismas partes del todo, es decir, que indican el mismo fragmento de la unidad. La forma de determinar si dos fracciones resultan equivalentes será la multiplicación cruzada, cuyo resultado debe ser igual tanto en el numerador como en el denominador para ser considerada como equivalente.

Amplificación y simplificación de fracciones

Finalmente, la Amplificación y simplificación de fracciones será entendida como procedimientos por los cuales se pueden conseguir respectivamente o una expresión mayor o menor de una misma fracción. Por lo general estas operaciones se llevan a cabo cuando se quiere hacer que una fracción resulte equivalente a otra, o también –en el caso de la simplificación- para conseguir expresiones mucho más sencillas y fáciles de manejar.

La forma de realizar estos procedimientos consistirá en multiplicar –si se trata de la amplificación- o dividir –si la operación a realizar fuese la división- cada uno de los elementos de la fracción por o entre el mismo número. El resultado será también una fracción, la cual será considerada la amplificación o simplificación de la fracción original, según el procedimiento que se haya aplicado.

Ejercicios de Amplificación y Simplificación de fracciones

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, quizás ciertamente sea mucho más sencillo tener en cuenta algunos ejercicios que pueden demostrar de forma concreta la forma adecuada en que deben llevarse a cabo ciertos ejercicios. A continuación, cada uno de ellos:

Ejercicio 1

Determinar, usando el método de amplificación, tres fracciones que resulten equivalentes a la que se presenta a continuación:

Para realizar esta operación, se deberá simplemente multiplicar esta fracción por tres distintos números, buscando así tres distintas amplificaciones, las cuales resultarán equivalentes a la primera, relación que se puede comprobar también a través del método de multiplicación cruzada, tal como se ve a continuación:

Hecho esto, se puede entonces entras a comprobar si las fracciones obtenidas del proceso de amplificación ciertamente resultan equivalentes a la fracción ofrecida por el ejercicio:

En los tres casos se ha logrado comprobar la equivalencia entre la fracción original y cada una de sus formas amplificadas.

Ejercicio 2

Dada la siguiente fracción determina dos fracciones equivalentes, a través del método de simplificación:

Lo primero que se hará en este caso será determinar cuáles son los divisores de cada uno de los números que se presentan como numerador y denominador de la fracción original:

Hecho esto, se determina entonces que ambos números cuentan con divisores comunes iguales a 2, 3 y 4. Por ende, la simplificación podrá hacerse usando cualquiera de estos tres números:

Una vez simplificadas las fracciones, se deberá proceder entonces a determinar si realmente estas fracciones resultan equivalentes a la ofrecida por el ejercicio, para esto se emplea el método de la multiplicación cruzada:

En ambos casos, se ha podido determinar que ciertamente las formas simplificadas de la fracción proporcionada originalmente por el ejercicio en efecto resultan equivalentes a esta expresión.

Ejercicio 3

Encuentra la forma irreductible de la siguiente fracción:

Para llevar a cabo esta operación, se deberá comenzar calculando cuál es el Máximo Común Divisor de los números que constituyen el numerador y el denominador:

Divisores de  24

24 : 1 = 24
24 : 2 = 12
24 : 3 = 8
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
24: 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 24 = 1

Divisores de 48

48 : 1 = 48
48 : 2 = 24
48 : 3 = 16
48 : 4 = 12
48 : 6 = 8
48 : 8 = 6
48 : 12= 4
48 : 16 = 3
48 : 24= 2
48 : 48 = 1

M.C. D (24, 48) = 24

Una vez se ha determinado cuál es el Máximo Común Denominador de estos dos números, se procede entonces a dividir ambos elementos de la fracción entre este número, es decir, a realizar una operación de simplificación a través de este número:

Al hacerlo, se consigue entonces la fracción irreducible, es decir, la mínima expresión con la que puede contar la fracción que ha sido dada originalmente por el ejercicio.

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