Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte conveniente delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: la primera de ellas, la propia definición de Números enteros, por ser estos los elementos directamente relacionados con estos ejercicios. Por otro lado, será también pertinente enfocar esta revisión a los conceptos de División y de Divisores de un número entero por constituir la categoría directamente relacionada a estos ejercicios. A continuación, cada uno de ellos:

Los números enteros

De esta manera, se comenzará por decir entonces que los Números enteros han sido explicados por los diferentes autores como aquellos elementos numéricos, por medio de los cuales se logra dar expresión escrita a las distintas cantidades exactas, o incluso a la ausencia o falta de ellas. Así también las Matemáticas han señalado que los Números enteros pueden ser considerados como los elementos constituyentes del conjunto numérico Z, colección dentro de la cual se pueden encontrar tres distintos tipos de números enteros, explicados a su vez de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, se encontrarán los números enteros positivos, los cuales pueden ser definidos como aquellos números por medio de los cuales se le da expresión a cantidades enteras específicas, al tiempo que siendo constituyentes también del conjunto de los Números naturales, los enteros positivos pueden ser empleados para contar los elementos de un conjunto, o asignársele una posición dentro de la colección, para ordenarla. Son ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, posición desde donde se extienden hacia el infinito. Igualmente, cuentan con un signo positivo, el cual no siempre se anota, dándose por sobre entendido.
• Números enteros negativos: por otro lado, dentro de los Números enteros se encontrarán igualmente los enteros negativos, los cuales pueden ser considerados como números inversos a los enteros positivos. Por ende, en la Recta numérica se encontrarán situados a la izquierda del cero, lugar desde donde se extenderán hacia el infinito, en sentido siempre contrario a los números positivos. Cuentan con un signo negativo, el cual sí debe ser anotado en todo momento junto al número, para que pueda distinguirse siempre se su número opuesto positivo. Estos números serán empleados para expresar la ausencia o falta de cantidades exactas específicas.
• Cero: finalmente, en el conjunto numérico Z, se encontrará también el cero, el cual será ubicado en la Recta numérica en la mitad, sirviendo de punto de partida, e incluso como límite, a los números enteros positivos y los enteros negativos. Sin embargo, el cero no es considerado ni positivo ni negativo, puesto que en sí mismo tampoco es visto como un número, sino que es entendido como un elemento por medio del cual se logra dar expresión a la ausencia plena de cantidad.

División

Por otra parte, será igualmente necesario pasar revista sobre el concepto de División, la cual será entendida como la operación por medio de la cual se busca determinar cuántas veces se encuentra comprendido un número específico, que hace las veces de Divisor, dentro de otro número determinado, que cumple el rol de Dividendo, a fin de obtener un Cociente, nombre que recibe el resultado final de toda división.

En tal sentido, la División es entendida igualmente como una operación inversa a la Multiplicación, procedimiento que es considerado a su vez como el producto obtenido en base a sumar por sí mismo el Multiplicando tantas veces le ordene el Multiplicador. En consecuencia, toda vez que se quiera comprobar una División se echará mano de la Multiplicación, y viceversa.

Divisores de un número entero

En tercer lugar, también resultará igualmente importante lanzar luces sobre el concepto de Divisores de un número entero, los cuales han sido explicados por las Matemáticas como todos los números capaces de dividir un mismo número entero, sosteniendo con éste divisiones exactas, que arrojen cocientes enteros, independientemente del signo que posea el Dividendo o el Divisor. Sin embargo, las Matemáticas señalan que sí se deberá tomar en cuenta si el número es primo o compuesto a la hora de determinar sus divisores, teniéndose entonces lo siguiente:

• Si el número es primo: en este orden de ideas, deberá recordarse entonces que todo número primo solo puede ser dividido entre el uno y entre el mismo. En consecuencia, todo número que sea distinguido como número primo tendrá solo cuatro divisores: el 1, el -1, el propio número y su inverso.
• Si el número es compuesto: por el contrario, si se tratara de un Número compuesto, entonces contará con muchos más divisores. Para encontrarlos, será necesario aplicar igualmente los criterios de divisibilidad que las Matemáticas han adoptado para cada caso, y que coinciden plenamente con los criterios de divisibilidad presente en los Números naturales.

Ejercicios de Divisores de números enteros

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede entonces que sea mucho más sencillo aproximarse a algunos ejercicios realizados en torno a los Divisores de números enteros. A continuación, cada uno de ellos:

Ejercicio 1

Determinar cuáles son los cinco primeros divisores de los siguientes números: 2, 4, 16

Para cumplir con este postulado, se deberá comenzar entonces a dividir cada número entre los cinco primeros números enteros ubicados en la Recta numérica, resolviendo cada ejercicio por separado:

Primero el número 2: en el caso del 2, se tendrá que este constituye el primer número primo, por lo que entonces contará solo con cuatro posibles divisores: -1, +1, +2, -2.

Luego, se determinarán los divisores del 4: sin ser un número primo, el cuatro podrán ser divido entre 1, 2 y 4, así como sus inversos, por lo que sus divisores serán entonces los siguientes: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Finalmente, al momento de determinar los divisores del 16, se tendrá que este número podrá ser divido entre el 1, 2, 4, 8, 16, así como entre sus inversos. Por lo tanto, los divisores de 16 serán los siguientes: -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16.

Ejercicio 2

Señala cuál de los siguientes números son divisibles entre 2

125
322
12
-4

Lo primero que se hará será revisar de forma general los números, pues esto ayudará a determinar si cabe la posibilidad de que en efecto sean divisibles entre 2, ya que para que esto sea posible, los números deberán terminar en número par o cero. Por lo tanto, los cuatro últimos números parecen tener mayor disposición a ser divisibles entre 2. Sin embargo, lo mejor será simplemente dividir cada número entre 2, a ver si realmente lo son:

125 : 2= 5 (no es divisible entre 2)
322 : 2= 161 (sí es divisible entre 2)
12: 2 = 6 (sí es divisible entre 2)
-4 : 2= -2 (sí es divisible entre 2).

Ejercicio 3

Determinar cuáles números son divisibles entre 5:

25
32
125
1000

En este caso, lo primero que se hará será recordar los criterios de divisibilidad, los cuales en el caso del cinco indican que todo número, no primo, es decir compuesto, es divisible entre 5 solo si termina en cero o en cinco, por lo que pareciera que tres de los cuatro números ofrecidos cuentan con las condiciones para ser números divisibles entre 5. Sin embargo, lo mejor será realizar las divisiones que permitirán establecer realmente si esto es así o no:

25 : 5= 5 (sí es divisible entre 5)
32 : 5= 6.4 (no es divisible entre 5)
125 : 5= 25 (no es divisible entre 5)
1000 : 5= 200 (sí es divisible entre 5)

Ejercicio 4

Determinar cuáles de estos números son divisibles entre 4

224
2344
1264
3456
25
233
12

En este caso, también será necesario entonces poner en práctica los criterios de divisibilidad aportados por las Matemáticas, los cuales indican que toda vez que se quiera saber si un número es divisible entre 4, lo primero que se hará será sumar sus últimas dos cifras, si el resultado es un número divisible entre 4, entonces el número completo lo será.

En este caso, si se toman en cuenta la suma de los últimos números de cada cifra proporcionada, se tendrá que a), b), c), d) y g) parecieran por sus características a simple vista ser compatibles con la división entre 4. Empero, lo mejor será realizar cada una de las divisiones correspondientes, para verificar que en realidad lo sean:

224: 4= 56 (sí es un número divisible entre 4)
2344 : 4= 586 (sí es un número divisible entre 4)
1264 : 4= 316 (sí es un número divisible entre 4)
3456: 4= 889 (sí es un número divisible entre 4)
25: 4= 6,25 (no es un número divisible entre 4)
12: 4= 3 (sí es un número divisible entre 4)

Ejercicio 5

Determinar cuáles de estos números resultan divisibles entre 10:

1000
10
200
233
2
-40

Al momento de comenzar a resolver este ejercicio, se deberá recordar de inmediato cuál es el criterio de divisibilidad que se adapta a este caso, es decir, al 10, el cual dice entonces que todo número podrá ser divisible entre 10 si termina en cero. Por lo tanto, pareciera que en los casos correspondientes a las letras a), b), c) y f) existe posibilidad de que el 10 realmente sea uno de sus divisores. Sin embargo, como sucede en todos los casos, deberán realizarse cada una de las divisiones pertinentes para verificar que esto sea así:

1000 : 10 = 100 (sí es divisible entre 10)
10:10 = 1 (si es divisible entre 10)
200 : 10 = 20 (sí es compatible entre 10)
233 :10 = 23,3 (no es compatible entre 10, pues no termina en cero)
2 : 10= 0,2 (no es compatible entre 10. Además el 2 es un número primo, por lo que solo contará con cuatro posibles divisores: -1, +1, 2, -2.
-40 : 10= -4 (sí es compatible entre 10. Pese al signo, la divisibilidad es posible, pues termina en cero, y para determinar si un número es divisible entre otro o no se toma en consideración solo el valor absoluto de ese número, no su signo).

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