Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte prudente delimitar esta revisión a tres nociones específicas: la primera de ellas, la definición misma de Números enteros, pues esto permitirá cobrar conciencia sobre la naturaleza de los elementos numéricos involucrados en esta operación. Así también, será necesario lanzar luces sobre los conceptos de Multiplicación y Mínimo común múltiplo, por ser las operaciones directamente relacionadas. A continuación, cada una de ellas:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos, usados para representar por escrito cantidades exactas, o bien la ausencia o deuda de ellas. Por otro lado, la disciplina matemática también ha descrito los Números enteros como aquellos elementos constituyentes del Conjunto numérico Z, colección en donde se pueden encontrar tres distintos tipos de números enteros, definidos a su vez de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, dentro de los Números enteros positivos se encontrarán los enteros positivos, los cuales son también reconocidos como los elementos que conforman el Conjunto de los Números naturales. Por ende, estos números serán empleados para representar cantidades exactas, así también como para contar elementos de un conjunto, o incluso asignarles a esto una posición o jerarquía precisa, la cual permita ordenarlos. Estos números se ubican en la Recta numérica a la derecha del cero, y cuentan con signo positivo, el cual en ocasiones sin embargo no se anota, dándose como sobre entendido, es decir, que todo número entero que no presente un signo junto a él, se tomará como un número positivo.
• Números enteros negativos: en segunda instancia, en el conjunto numérico Z, también podrán contarse los números enteros negativos, los cuales son asumidos como los inversos de los enteros negativos. Estos números irán ubicados a la izquierda del cero en la Recta numérica, punto desde donde se extenderán hacia el infinito, en dirección siempre opuesta a la de los números enteros positivos. Cuentan con un signo negativo, el cual siempre deberá acompañar al número, a fin de diferenciarlo de su opuesto positivo. Los enteros negativos serán empleados para indicar la ausencia o falta de una cantidad entera específica.
• Cero: finalmente, dentro de este conjunto numérico, se encontrará de igual forma el cero, elemento que se ubicará en la Recta numérica en la mitad, sirviendo de guía y límite a los demás números enteros, es decir, tanto a los enteros positivos como enteros negativos. No obstante, el cero no contará ni con uno ni con otro signo, puesto que no es considerado un número como tal, sino un elemento numérico que será usado para señalar la ausencia total de palabras.

Multiplicación

En otro orden de ideas, vendrá bien igualmente tomar un momento para revisar la definición de Multiplicación, la cual ha sido explicada de forma general, por las distintas fuentes como una operación por medio de la que se toma un número específico, que hace las veces de Multiplicando, y se suma por sí mismo, tantas veces como señale un segundo número, denominado Multiplicador, a fin de obtener un total o resultado, que recibe el nombre de Producto. En consecuencia, algunos autores explican esta operación también como una suma abreviada.

Mínimo común múltiplo

Por último, será también importante tener en cuenta el concepto de Mínimo común múltiplo. Para esto, se debe comenzar señalando que dentro de las Matemáticas se conocen como los múltiplos de un número entero a los distintos productos que este número arroja cuando se multiplica con cada uno de los otros números enteros y por sí mismo. De esta manera, el Mínimo común múltiplo, como su nombre lo indica, será el resultado de la comparación entre los múltiplos de dos o más números enteros, que lleva a escoger cuál de los que resulta común entre ellos, es de menor valor.

Ejercicios de mínimo común múltiplo

Sin embargo, puede que la mejor manera de asimilar estas definiciones sea a través de ejemplos concretos que permitan ver de forma práctica cómo debe responderse en cada caso, en donde se deba determinar o trabajar con el Mínimo común múltiplo de dos o más números. A continuación, cada uno de ellos:

Ejercicio 1

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números (3,9)

Para dar respuesta a lo solicitado por el postulado de este ejercicios, se deberá determinar entonces al menos los primeros cinco múltiplos positivos de los números ofrecidos por el planteamiento, lo cual se hace multiplicando cada uno de estos números por los cinco primeros números positivos que se encuentran a la derecha del cero en la recta numérica:

Primero se hará con el número 3:

3 x 1= 3
3 x 2= 6
3 x 3 = 9
3 x 4= 12
3 x 5= 15

Y luego con el número 9

9 x 1= 9
9 x 2= 18
9 x 3= 27
9 x 4= 36
9 x 5= 40

Después de hacer esto, se deberán comparar entonces los múltiplos obtenidos:

3 = 3, 6, 9, 12, 15
9= 9, 18, 27, 36, 40

Al comparar estos números, se verá entonces que ambos coinciden en sus múltiplos con el número 9, el cual resulta ser además la coincidencia de menor valor, por ende, el Mínimo común múltiplo de ambos números. Se procede entonces a expresar el resultado obtenido:

m.c.m (3,9)= 9

Ejercicio 2

Determinar el mínimo común múltiplo de los siguientes números (2,8)

De igual forma, para dar solución a este ejercicio se determinarán los primeros múltiplos de cada número, y se tomará como mínimo común múltiplo al que resulte de menor valor y común a ambos números:

Múltiplos del 2:

2 x 1= 2
2 x 2= 4
2 x 3= 6
2 x 4= 8
2 x 5= 10

Múltiplos del 8:

8 x 1= 8
8 x 2= 16
8 x 3= 24
8 x 4= 32
8 x 5= 40

Comparación de múltiplos:

2= 2, 4, 6, 8, 10
8= 8, 16, 24, 32, 40

Expresión del resultado:

m.c.m (2,8)= 8

Ejercicio 3

Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes números (2, 4, 6):

Tal como refiere el concepto del Mínimo común múltiplo, este número común y de menor valor entre los múltiplos puede determinarse entre dos o más números, por lo que no necesariamente debe ser un par de números. En este caso, se procederá de igual forma, es decir, primero se calcularán los múltiplos de cada uno de los números propuestos por el ejercicio, y luego se procederá a compararlos y sacar de ellos el número que resulte coincidente en cada uno de los tres casos, y que además sea el de menor valor entre ellos, tal como se hace a continuación:

Múltiplos del 2:

2 x 1= 2
2 x 2= 4
2 x 3= 6
2 x 4= 8
2 x 5= 10
2 x 6= 12
2 x 7= 14

Múltiplos del 4

4 x 1= 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5= 20
4 x 6= 24
4 x 7= 28

Múltiplos del 6

6 x 1= 6
6 x 2= 12
6 x 3= 18
6 x 4= 24
6 x 5= 30
6 x 6= 36
6 x 7= 42

Obtenidos estos múltiplos, se procede entonces a hacer una comparación entre ellos, a fin de determinar el mínimo común múltiplo que puede encontrarse entre ellos:

2= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
4= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
6= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42

Se comparan entonces los números obtenidos, y se escoge cuál es el común entre ellos, y además el de menor valor. Acto seguido, se expresa el resultado:

m.c.m (2, 4, 6)= 12

Ejercicio 4

Determinar el mínimo común múltiplo de los siguientes números (3, 4, 6, 8)

Y así como pueden determinarse el m.c.m de dos o tres elementos numéricos, también se podrá hacer con cuatro o más. En todos los casos se procederá de la misma forma: se calculan los primeros múltiplos de cada número, se comparan y se determina cuál de ellos es el de menos valor, es decir, el mínimo común múltiplo:
Múltiplos del 3:

3 x 1= 3
3 x 2= 6
3 x 3= 9
3 x 4= 12
3 x 5= 15
3 x 6= 18
3 x 7= 21
3 x 8= 24

Múltiplos del 4:

4 x 1= 4
4 x 2= 8
4 x 3= 12
4 x 4= 16
4 x 5= 20
4 x 6= 24
4 x 7= 28

Múltiplos del 6:

6 x 1= 6
6 x 2= 12
6 x 3= 18
6 x 4= 24
6 x 5= 30
6 x 6= 36

Múltiplos del 8:

8 x 1= 8
8 x 2= 16
8 x 3= 24
8 x 4= 32
8 x 5= 40

Comparación de múltiplos:

3= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
4= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
6= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42
8= 8, 16, 24, 32, 40

El múltiplo común y de menor valor es el 24, por lo tanto este número será señalado como el mínimo común múltiplo de estos números:

m.c.m (3,4,6,8)= 24

Ejercicio 5

Jaime va a la biblioteca Julio Mario Santo Domingo cada ocho días, mientras que Mariana asiste a este lugar cada cuatro días. El lunes pasado se encontraron en la biblioteca. ¿Cuántos días volverán a pasar para que estos amigos vuelvan a encontrarse en este recinto cultural?

Así como los ejercicios de mínimo común múltiplo pueden plantearse directamente, también puede ocurrir que estos sean expresados en forma de problemas, tal como el que se expresa en este ejercicio. Por ende, para resolverlo se comenzará analizando cada uno de los datos suministrados:

Jaime va a la biblioteca cada 8 días
Mariana asiste cada 4

Al hacerlo, se puede inferir que los datos constituyen múltiplos, es decir, Jaime asiste a la biblioteca en fechas que pueden ser calculadas como múltiplos de 8, mientras que Mariana lo hace en múltiplos de 4. Por ende, lo primero que deberá hacerse es calcular los primeros múltiplos de cada número:

Múltiplos de 8:

8 x 1= 8
8 x 2= 16
8 x 3= 24
8 x 4= 32
8 x 5= 40

Múltiplos de 4

4 x 1= 4
4 x 2= 8
4 x 3= 12
4 x 4= 16
4 x 5= 20
4 x 6= 24

Luego se procede a comparar estos múltiplos y señalar cuál es el mínimo común múltiplo de ellos:

8= 8, 16, 24, 32, 40
4= 4, 8, 12, 16, 20, 24

m.c.m= 8

Una vez calculado el mínimo común múltiplo, se tiene que el número en común es el 8, es decir que estos amigos coincidirán nuevamente en 8 días. Si encontraron un lunes, y se toma este día como día 0, entonces volverán a reunirse en la biblioteca el próximo martes.

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