Definiciones fundamentales

Sin embargo, puede que sea necesario también delimitar esta revisión a tres nociones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Números enteros, por ser estos los elementos numéricos directamente involucrados en cada uno de los ejercicios, que se mostrarán posteriormente. De igual manera, será necesario tomar en consideración las definiciones de Multiplicación de números enteros, así como de las leyes por las cuales se rige esta operación. A continuación, cada una de estas cuestiones:

Los números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos, por medio de los cuales se le logra dar expresión escrita a determinadas cantidades exactas. Por otro lado, esta disciplina matemática señala también que los Números enteros serán considerados los elementos constituyentes del conjunto numérico Z, colección en donde se pueden identificar tres distintos tipos de números, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: por un lado, dentro del conjunto Z, se encontrarán los enteros positivos, los cuales serán comprendidos como aquellos números que además constituyen el conjunto de los Números naturales. En consecuencia, las Matemáticas emplearán los Números enteros para expresar cantidades exactas, contar los elementos de un conjunto, o también asignarles una posición o jerarquía específica, a fin de procurar su organización. Los enteros positivos se ubicarán también en la Recta numérica a la derecha del cero, posición desde donde se extenderán hacia el infinito. Estos números cuentan con un signo positivo, el cual en ocasiones no se anotará al lado del número, considerándose como sobre entendido.
• Números enteros negativos: por otro, los enteros negativos también formará parte del conjunto de los Números enteros, siendo reconocidos entonces como los inversos de los Números positivos. En consecuencia, se anotarán a la derecha del cero, en la Recta numérica, posición desde la cual se extenderán hacia el infinito, en dirección siempre contraria a los enteros positivos. Estos números contarán igualmente con su propio signo, el cual será negativo, y deberá ser anotado en todo momento junto al número, a fin de distinguirlo de su opuesto positivo. Estos números serán empleados para expresar la ausencia de cantidades exactas.
• Cero: finalmente, el cero pertenecerá igualmente a los Números enteros. Se ubicará en la Recta numérica en la mitad, sirviendo de límite y punto de partida a los enteros positivos y a los enteros negativos. Sin embargo, el cero no pertenecerá a ninguno de estos grupos, ni poseerá ninguno de estos títulos, puesto que el cero no será considerado un número como tal, sino un símbolo por medio del cual las Matemáticas logra dar expresión escrita a la ausencia de cantidad.

Multiplicación

En segundo lugar, la Multiplicación será entendida como la operación por medio de la que se busca determinar cuál es el producto que se obtiene toda vez que se multiplique por sí mismo un número, tantas veces como lo indique un segundo número. En consecuencia, algunos autores señalan que esta operación también puede ser comprendida como una suma abreviada.

Propiedades de la Multiplicación de números enteros

De igual forma, tal como sucede con toda operación matemática, en la Multiplicación también podrán encontrarse un grupo de propiedades y leyes, las cuales rigen el cómo deben realizarse o resolverse ciertas operaciones o situaciones matemáticas. A continuación, una breve descripción de cada una de estas leyes:

• Propiedad conmutativa: en primer lugar, se encontrará la Propiedad conmutativa, la cual indica que toda vez que se establezca una multiplicación entre números enteros, los factores entre los que se establecen la operación podrán intercambiar su posición, sin que esto se traduzca en una alteración en el producto obtenido. Es decir, el orden de los factores no altera el producto:

a . b = b . a

• Propiedad asociativa: por otro lado, las Matemáticas han señalado también que la Multiplicación de Números enteros responderá también a la Propiedad asociativa, es decir, que cuando una operación de este tipo se realice entre tres o más elementos, estos podrán establecer distintas asociaciones o agrupaciones entre ellos, sin que esto altere en algún modo el resultado de la operación. Es decir:

(a . b) . c = a . (b . c)

• Elemento neutro: así mismo, esta operación se regirá por la propiedad del elemento neutro, el cual en el caso de la Multiplicación de Números enteros será ejercido por el número 1. Por lo tanto, todo número entero que se multiplique por 1 dará como resultado el mismo número. Es decir:

a . (+1)= a

• Propiedad distributiva: en el caso de la Propiedad distributiva en la multiplicación de números enteros, esta propiedad se dará en relación a la suma y la resta. De esta manera, la multiplicación de un número entero por la suma de dos o más factores deberá ser igual a la multiplicación de este número entero por cada uno de los elementos que conforman esta suma o resta. Es decir:

a . (b + c) =  a . b + a . c

• Sacar factor común: finalmente, la propiedad Sacar factor común podrá ser entendida igualmente como una propiedad inversa a la Propiedad distributiva. En tal caso, toda vez que en una suma o resta de multiplicaciones, se descubra que en cada una de las operaciones haya un número o factor común, entonces esta operación podrá ser calculada también como la multiplicación de este factor por la suma o resta de los factores que intervengan en el procedimiento, sin que esto representa una alteración para el producto final. Es decir:

a . b + a . c = a . (b+c)

Ejercicios de propiedades de multiplicación de números enteros

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar algunos ejercicios que pueden mostrar de forma práctica cómo se aplican cada una de las propiedades matemáticas, presentes en la Multiplicación de Números enteros. A continuación, cada una de estos procedimientos:

Ejercicio 1

Resolver cada uno de los dos planteamientos que se presentan a continuación, y señalar cuál es la propiedad matemática que se desarrolla en cada uno de los ejercicios:

1. (+4) . (-20) =
2. (-20) . (+4) =

Al momento de resolver cada operación, habrá de recordarse que la mejor manera es multiplicar los factores, y luego multiplicar los signos, a fin de determinar tanto el producto, como el signo que tendrá. La multiplicación de signos se hace teniendo en cuenta la Ley de signos. Por lo tanto:

1. (+4) . (-20) = -80
2. (-20) . (+4) = -80

Realizando los dos planteamiento, se ha visto cómo cada operación está conformada por iguales factores, solo que en distinto orden. Sin embargo, se mantiene igualmente el mismo producto final. Por consiguiente, se puede afirmar que en este caso se cumple la Propiedad Conmutativa de la multiplicación de números enteros.

Ejercicio 2

Revolver cada uno de las operaciones planteadas, y de cumplirse en ellas alguna propiedad matemática señalar de cuál se trata:

1. 7 . (-2 . 3)=
2. (7 . -2) . 3=

A fin de dar cumplimiento a lo planteado por el ejercicio, se resolverá cada una de las operaciones, con el fin de analizar sus resultados, y ver si se cumple alguna propiedad matemática y cu

1. 7 . (-2 . 3)= 7 . (-6) = -42
2. (7 . -2) . 3= (-14) . 3= -42

En efecto, sin importar las asociaciones distintas establecidas entre los distintos factores, se obtiene el mismo resultado. En consecuencia, se podrá decir que en esta dos operaciones, se cumple la Propiedad Asociativa.

Ejercicio 3

Comprobar en la siguiente operación la Propiedad Distributiva de la Multiplicación de números enteros, respecto a la suma:

(-2) . (3 + 6)=

Una vez planteada la operación, se deberá resolverla de dos formas: la primera, multiplicando el -2 por el total de la suma planteada por los otros dos factores, y la segunda entonces multiplicando el -2 por cada uno de los sumandos. Los productos finales deberían coincidir para dar por comprobada la Propiedad Distributiva en la Multiplicación de Números enteros. Se resuelve la operación entonces de la primera forma:

(-2) . (3 + 6)= (-2) . (9) = -18

Y luego de la segunda forma:

(-2 . 3) +  (-2. 6)= (-6) + (-12)= -6 – 12= -18

Efectivamente, ambas formas de plantear la operación conduce a iguales productos. Por lo tanto, se considera comprobada la Propiedad Distributiva de la Multiplicación de números enteros. Esta ley matemática podría expresarse en este caso de la siguiente manera:

(-2) . (3 + 6) = (-2 . 3) +  (-2. 6)

Ejercicio 4

En el siguiente ejercicio, comprobar la Propiedad del Factor común.

(4 . 5) + (4 . 2) =

En este caso, también se deberá proceder a resolver la primera operación planteada. Posteriormente, viendo que en ambas multiplicación se puede determinar el 4 como factor común, se puede expresar la operación de manera distinta, es decir, multiplicando este 4 por la suma de los otros dos factores que no resultan comunes. De esta manera, se comenzará por resolver el primer planteamiento:

 (4 . 5) + (4 . 2) = (20) + (8) = 28

Luego, se resolverá el segundo planteamiento que se puede establecer, una vez que se ha identificado al 4 como Factor común:

4 . (5 + 2) = 4 . (7)= 28

Se considera entonces comprobada la Propiedad del Factor común, mientras que el resultado obtenido puede ser expresado de la siguiente manera:

(4 . 5) + (4 . 2) = 4 . (5 + 2)

 Ejercicio 5

Demostrar con los siguientes números enteros la Propiedad del Elemento neutro, presente en la Multiplicación de estos elementos numéricos:

4, -5, 20, -3, -9, 7, -290

Siendo la propiedad del Elemento neutro la cual se deberá comprobar, entonces simplemente se toma cada número, y se multiplica por +1:

4 x 1= 4
-5 x 1= -5
20 x 1= 20
-3 x 1= -3
-9 x 1= -9
7 x 1= 7
-290 x 1= -290

En todos los casos, al multiplicar cada uno de los números enteros por el 1, el resultado ha sido el mismo número. En consecuencia, se asume comprobada la propiedad del Elemento neutro en la multiplicación de números enteros.

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