Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que también resulte pertinente enfocar esta revisión teórica a cinco nociones fundamentales: la primera de ellas, la propia definición de Geometría, pues esto permitirá entender la naturaleza de la disciplina en medio de la que nace el concepto de Altura de un triángulo y del Ortocentro. Así mismo, será necesario tener en cuenta los conceptos de Recta, Rectas perpendiculares, Polígonos y Triángulos, por encontrarse directamente relacionados con las entidades geométricas, que se revisarán posteriormente:

Geometría

En consecuencia, se comenzará por decir que la Geometría ha sido explicada como una de las principales disciplinas matemáticas, siendo definida también como la materia que aborda el estudio de las distintas figuras geométricas, así como de sus respectivas propiedades (longitud, altura, volumen, etc.). Por igual, algunas fuentes también optan por definir la Geometría como la Ciencia de las medidas.

Con respecto al origen de esta disciplina, algunos autores han señalado que la Geometría puede ser vista igualmente como una de las materias o áreas matemáticas más antiguas que existen en el seno de la Humanidad, pudiendo originarse directamente de los intentos de los primeros hombres por medir, entender, manipular o replicar las distintas formas,  a fin de poder hacerse con herramientas y espacios cada vez más eficientes. Por ende, en ese intento de comprender las formas y especializarse en el hecho de medirlas, nació la Geometría.

Recta

Con respecto a la Recta, la Geometría la ha explicado como una figura geométrica unidimensional, la cual ha sido definida también como la sucesión infinita de puntos, los cuales cuentan con igual dirección. Sin embargo, esto no quiere decir que la Recta cuente también con esta característica, puesto que la Recta tendrá dos distintos sentidos, lo cual dependerá directamente de la lectura que se haga de esta figura geométrica. Así mismo, la Geometría ha señalado que en la Recta pueden encontrarse distintas características, entre las que se encuentran las siguientes:

• La Recta –al estar conformada por una sucesión infinita de puntos- puede ser considerada igualmente como una figura geométrica infinita, en la que no puede encontrarse ni principio ni final.
• Por igual, es vista como la distancia más corta entre dos puntos, así como la única figura geométrica que pasa a través de ellos, resaltando además que siempre que la Recta pase entre dos puntos, lo podrá hacer solo en una oportunidad por vez.
• Finalmente, la Recta será siempre representada por una letra minúscula.

Rectas perpendiculares

Así mismo, será menester traer a capítulo el concepto que manejan las Matemáticas con respecto a las Rectas perpendiculares, las cuales serán entendidas como aquellas líneas rectas –sucesiones infinitas de puntos- que se cortan en algún punto de su extensión, de manera perpendicular, es decir, en donde una de las rectas se encuentra en posición horizontal, y la segunda recta se dispone de forma vertical. Las rectas perpendiculares crean cuatro ángulos rectos, o en otras palabras cuatro ángulos cuyas medidas son de 90º.

Polígonos

De igual forma, será necesario pasar revista sobre el concepto de Polígonos, los cuales han de ser entendidos como figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, que cuentan con tan solo dos dimensiones, sin que en ella pueda verse la tercera dimensión de la profundidad.

Así mismo, el polígono se caracterizará por ser una figura geométrica totalmente cerrada, puesto que se encontrará delimitada por un conjunto de segmentos de recta, hecho que le otorga otra de sus características a este tipo de figuras: el tener todos sus lados completamente rectos. De hecho, si existiese una figura geométrica, bidimensional y cerrada, pero que tuviese tan solo uno de sus lados curvos, entonces no podría considerarse un polígono como tal. No obstante, estas no son las únicas características de los Polígonos, los cuales se distinguen también por los siguientes rasgos:

• Lados: en primer lugar, los lados del polígono, los cuales estarán constituidos por segmentos de recta y delimitarán a la figura, constituyéndola. El número de lados que tiene un polígono determina el nombre del polígono.
• Vértices: siendo una figura geométrica cerrada, los lados del Polígono tienden a unirse o encontrarse en puntos determinados, creando vértices.
• Ángulos: sin embargo, cuando dos lados de un polígono coinciden no solo dan lugar a un vértice, sino que comienzan a delimitar un espacio geométrico específico, el cual recibe el nombre de Ángulo, y contará a su vez con tres elementos: dos lados, constituidos por los segmentos de recta del polígono que los delimitan; un vértice, que coincidirá plenamente con el vértice del polígono; una amplitud, la cual puede ser medida en grados sexagesimales.
• Diagonales: en cuarto lugar, los polígonos se distinguirán igualmente por tener o contar con diagonales, las cuales serán vistas como segmentos de recta que se disponen entre dos vértices, que deben tener como principal rasgo el no encontrarse ubicados de forma continua.

Triángulo

Por último, será también necesario explicar el concepto de Triángulo, el cual será entendido entonces como un Polígono, es decir como una figura geométrica plana y cerrada, la cual se encuentra constituida, y totalmente delimitada, por tres segmentos de recta. Ergo, el Triángulo es un polígono de tres lados. Sin embargo, estas no son las únicas características del Triángulo, puesto que esta figura se distinguirá también por contar con los siguientes elementos:

• Tres lados: los lados del Triángulo serán tres, y estarán constituidos por tres segmentos de recta. Por ende, los lados de esta figura geométrica, como polígono al fin, serán completamente cerrada. La similitud entre las medidas de sus lados será uno de los rasgos que use la Geometría para clasificar los Triángulos en Equiláteros, Isósceles o Escalenos.
• Tres vértices: al ser una figura cerrada, los lados del Triángulo se encuentran en algunos puntos. Estos puntos de unión o confluencia en el polígono se denominan vértices, y en el caso del Triángulo son solo tres.
• Tres ángulos: sin embargo, cuando dos lados del Triángulo confluyen, no solo lo harán creando un vértice, sino que además comenzarán a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se denominará ángulo, y contará con tres distintos elementos: dos lados, un vértice y una amplitud. Así mismo, son las medidas de los ángulos del Triángulo los que otorgan a la Geometría un segundo rasgo para hacer una clasificación, conformada entonces por los Triángulos acutángulos, Triángulos rectángulos y Triángulos obtusángulos.
• Sin Diagonales: otro de los rasgos característicos de los Triángulos será el de no poseer Diagonales. Esto se debe a que el Triángulo presenta todos sus vértices totalmente continuos. Por lo tanto, no pueden existir Diagonales. De esta manera el Triángulo es un Polígono sin Diagonales.

Las alturas como rectas

Una vez se han analizado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las Alturas del triángulo, las cual puede ser definida como la Línea recta perpendicular a uno de sus lados. No obstante, la Altura del Triángulo también podría encontrarse compuesta por la prolongación de esta recta perpendicular, la cual pasaría o se prolongaría desde su respectivo vértice opuesto.

Ejemplo de altura del triángulo

Empero, puede que la mejor manera de asimilar este concepto es ver cómo puede trazarse la Altura de un Triángulo, tan como se ve en el ejemplo que se muestra a continuación:

1.- Teniendo el siguiente triángulo, se procederá a trazar la primera altura, la cual partirá del lado CB, prolongándose hasta y desde el Vértice opuesto, constituyéndose entonces como una recta perpendicular.

2.- No obstante, es necesario también dibujar la prolongación izquierda del lado AB, para que así desde el vértice C pueda surgir también una recta, que se prolongue hacia abajo, y que corte de forma perpendicular la prolongación izquierda del lado AB, generando entonces el punto M.

3.- De igual forma, es necesario dibujar la prolongación del lado del triángulo CA, lo cual se hará produciendo que del vértice B también pueda surgir una línea recta, que corte de forma perpendicular esta prolongación, produciendo entonces por su parte el punto N.

4.- De esta manera, se consideran trazadas las tres distintas alturas que posee este triángulo. Las cuales entonces serán denominadas con letras mayúsculas, conformadas por el nombre del vértice por el que han pasado, así como por el nombre del punto que han tocado en alguno de sus lados o prolongaciones. En este ejemplo concreto se podrán ver entonces tres diferentes alturas: la CM, la AH y la BN.

El ortocentro

Sin embargo, las alturas del triángulo no deben considerarse solo hasta los puntos en donde se establecen como rectas perpendiculares a algunos de sus lados o sus respectivas prolongaciones desde los vértices opuestos, sino que cada una de estas líneas pueden seguir proyectándose mucho más allá, situación que producirá que en algún momento estas líneas rectas se cortarán o encontrarán entre sí, creando entonces un punto en común, el cual será denominado Ortocentro del Triángulo.  Por ende, el Ortocentro de un triángulo básicamente será explicado como el punto en donde coinciden las diferentes alturas de esta figura geométrica.

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