Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que lo más conveniente sea delimitar esta revisión conceptual a tres nociones específicas: Números enteros, Números decimales y Notación científica, por ser respectivamente los elementos numéricos y la expresión involucrados directamente en este procedimiento de multiplicación. A continuación, cada una de estas definiciones:

Números enteros

En consecuencia, se comenzará por decir que los Números enteros han sido definidos por las Matemáticas como aquellos elementos numéricos por medio de los cuales se logra la expresión escrita de las cantidades enteras o la ausencia de ellas. Así también, los Números enteros serán entendidos como los constituyentes del conjunto Numérico Z –el cual también alberga al conjunto de los números naturales (N)- y estará conformado por tres distintos elementos:

• Números enteros positivos: con los que se expresarán cantidades enteras específicas.
• Números enteros negativos: elementos usados para expresar la ausencia o deuda de una cantidad entera específica.
• Cero: elemento que no es considerado un número, sino un signo para representar la ausencia total de cantidad. Este elemento, por ende, no es ni positivo ni negativo.

Números decimales

Por su parte, los Números decimales serán comprendidos por la disciplina matemática como aquellos elementos numéricos usados para expresar cantidades fraccionarias, identificadas a su vez como números racionales o irracionales. Igualmente, este tipo de números serán descritos como elementos compuestos por dos partes diferentes, explicadas a su vez de la siguiente manera:

• Parte entera: constituida por un número entero, el cual podrá ser positivo, negativo o incluso el cero. Recibe el nombre de Unidades, y sus elementos cuentan con valor posicional, distinguiéndose en ellos, de derecha a izquierda, las unidades, decenas, centenas, unidades de mil decenas de mil, centenas de mil, etc.
• Parte decimal: en segundo lugar, los números decimales contarán también con una parte decimal, denominada Unidades incompletas. Se encontrará compuesta por un número menor a la unidad, el cual en la Recta numérica se ubicará entre el 0 y el 1. Sus elementos también contarán con valor posicional,  encontrándose en ellos las décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.

Ambas partes del número decimal se encontrarán separadas por una coma. A la derecha de este signo se anotarán las Unidades incompletas, mientras que las Unidades se colocarán a la izquierda. Algunas corrientes matemáticas prefieren usar el punto (.).

Notación científica

Por último, será prudente también pasar revista sobre la definición de Notación científica, procedimiento que ha sido explicado como la abreviatura que se hace de un número, sea entero o decimal, que debido a su magnitud o gran cantidad de elementos, prefiere expresarse de una forma más sencilla, mediante una potencia de base 10. Así también, las Matemáticas señalan un método para cada uno de los procesos de abreviatura según los números sean enteros o decimales. A continuación, cada uno de ellos:

• Notación científica de un número entero: de esta manera, para abreviar un número entero, a través de la Notación científica, será necesario comenzar por suprimir los ceros que se encuentran a su izquierda, y tomando solo los números que resulten diferentes a cero, los cuales serán tomados como números enteros. Sin embargo, si este número resulta igual o mayor a 10, entonces deberá expresarse como un decimal, en donde la parte entera sí se ajuste a este criterio. Este número se multiplicará por una potencia de base 10 y exponente positivo, equivalente al número de veces que deberá correrse la coma o agregar ceros para conseguir el mismo número que se ha abreviado.

• Notación científica de un número decimal: por su parte, en caso de que el número que se decida abreviar, a través de la Notación científica sea un decimal, se deberá empezar por suprimir los ceros que se encuentran a la izquierda. Hecho esto se tomará el número diferente a cero como un entero, siempre y cuando resulte mayor que 1 y menor que 10, de no ser así se expresará también como un decimal, con una parte entera que sí se ajuste a esta exigencia. Este número se multiplicará por una potencia de base 10, cuyo exponente deberá ser negativo y equivalente a todos los lugares a la izquierda que debe trasladarse la coma para así poder obtener el número que se ha expresado por medio de este método.

Multiplicación de números expresados mediante notación científica

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, seguramente resulte mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Multiplicación de números que hayan sido expresados en Notación científica, operación que irá dirigida a determinar cuál es el producto de sumar por sí mismo un número expresado mediante una potencia de 10, tantas veces como señale otro número, expresado de la misma forma. En consecuencia, la multiplicación de números expresados en Notación científica podrá comprenderse también como una suma abreviada de estos.

En cuanto a los pasos que deben seguirse para cumplir esta operación, se deberá tener primero en cuenta la naturaleza de los números involucrados, pues esto determinará cómo se llevará a cabo la operación. A continuación, cada uno de los casos de Multiplicación de números expresados mediante Notación científica:

Si ambos números son enteros

El primer caso que se tendrá será cuando ambos números involucrados sean enteros. Ante esto simplemente se deberán agrupar los elementos similares, y en cuanto a las potencias sumar los exponentes, como se haría en toda multiplicación de potencias de igual base. Empero, quizás la mejor manera de entender cada uno de estos pasos sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra seguidamente:

Resolver la siguiente multiplicación:  590000000000000000 x 20000000000000=

Dada esta operación, lo primero que se hará debe ser abreviar cada uno de los términos, usando para esto la Notación científica:

590000000000000000 →  5,9 . 10¹⁷

20000000000000 → 2 . 10¹³

Hecho esto, se debe plantear la operación respectiva:

(5,9 . 10¹⁷) . (2 . 10¹³) =

Se agrupará los números según sus distintas naturalezas, por un lado los números enteros, y por otro las potencias de base 10:

(5,9 . 2) . (10¹⁷ . 10¹³) =

Se resolverán las operaciones planteadas en cada caso. En lo que concierne a las potencias de base 10, se deberán sumar sus exponentes:

11,8 . (10¹⁷⁺¹³) = 11,8 . 10³⁰

Como 11,8 es un número cuya parte entera no resulta menor a 10, se debe llevar nuevamente a notación científica:

 11,8 → 1,18 . 10^-1

Al hacerlo se obtiene entonces el siguiente resultado:

1,18 . 10^-1 . 10³⁰

Esto implicará que nuevamente se realice una multiplicación de igual base, por lo que se sumarán sus exponentes, teniendo en cuenta que tienen signos distintos:

1,18 . 10^-1+30 =  1,18 . 10²⁹

Se asume este como el resultado de la operación.

Si ambos números son decimales

Así mismo, puede ocurrir que los números a multiplicar sean números decimales, por lo que entonces se tendrán que seguir los pasos que se expresan en el ejercicio que se presenta a continuación:

Resolver la siguiente multiplicación:  0,0000000000000032 . 0,0000000000003=

Igualmente, lo primero que se hace, si los números no se proporcionan de una vez expresados mediante potencias de 10, será determinar cuál es su expresión abreviada:

0,0000000000000032 → 3,2 . 10^-15

0,0000000000003 → 3 . 10^-13

Obtenidos estos términos, se planteará entonces la operación de multiplicación, colocándolos de forma horizontal, y relacionándolos por medio de un signo por, a fin de hacer la expresión de la operación mucho más clara, se agruparán cada uno de los números abreviados en notación científica dentro de paréntesis:

(3,2 . 10^-15) .  (3 . 10^-13) =

Para comenzar a resolver esta operación, se deberán agrupar los elementos iguales:

(3,2 . 3) . (10^-15 . 10^-13) =

Se resolverá cada una de estas operaciones. Por un lado la de los números enteros, y por otro las de las potencias, recordando la propiedad matemática que dicta que las potencias de igual base que se multipliquen deberá asumir una sola base, y sumar sus exponentes. En este caso, se deberá poner atención en los signos negativos con los que cuentan cada uno de los exponentes:

9,6 . 10^{(-15) + (-13)} =

9,6 . 10^-15-13 =

9,6 . 10^-28

Se asume esta expresión como el producto final de la operación de multiplicación de números decimales, expresados a través de notación científica.

Si un número es entero, y el otro resulta decimal

Finalmente, también podrá ocurrir que los números que se multipliquen sean de distintas naturalezas, es decir, que uno sea entero y el otro decimal. En este tipo de casos se procederá tal cual como se muestra usando de referencia el próximo ejemplo:

Resolver la siguiente operación: 45000000000000000 .  0,0000000000002=

Al momento de comenzar a resolver esta operación, será necesario abreviar cada uno de estos números, mediante potencias de 10:

45000000000000000 → 4,5 . 10¹⁶

0,0000000000002 → 2 . 10^-13

Hecho esto, se planteará la operación de multiplicación, colocando ambos números en forma horizontal, y relacionándolos entonces con un signo por (.):

(4,5 . 10¹⁶) .  (2 . 10^-13) =

Acto seguido, como corresponde, se deberán separar los elementos, agrupando los semejantes:

(4,5 . 2) .  (10¹⁶. 10^-13) =

Se resolverán cada una de las operaciones. En el caso de la multiplicación de las potencias de base 10, se tomará en cuenta el signo de cada exponente al momento de sumarlos tal cual indica la propiedad matemática sobre la multiplicación de potencias de igual base:

9 . 10^(16)+(-13)=

9.10^16-13 =

9 . 10³ =

Se asumirá este resultado como la respuesta final de la operación. Si se quisiera expresar como un número entero, será necesario toma el 9 y completar hacia la derecha los espacios indicados por el exponente de la potencia de base 10:

9 . 10³ → 9000

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