Características de los polinomios

Así mismo, el Álgebra elemental plantea que a pesar de que la definición de polinomio señala que éste se encuentra conformado por la suma de monomios, esta expresión algebraica contempla también la existencia de operaciones de resta y multiplicación, entre los diferentes términos algebraicos que constituyen la secuencia. No obstante, en referencia a la división, esta constituye una operación no admisible dentro de los polinomios.

Con referencia a sus componentes, los polinomios estarán básicamente constituidos por una serie de monomios, los cuales a su vez se encuentran conformados por cuatro elementos:

Cada uno de los cuales cuenta con su propia definición y función dentro del polinomio, la cual es de gran utilidad a la hora de determinar el tipo o grado de un polinomio, datos necesarios a la hora de ordenarlo, o realizar otro tipo de operaciones que involucren polinomios. De esta forma, se puede decir entonces que cada uno de los elementos de un monomio puede ser descrito de la siguiente manera:

• Signo: este elemento, que puede ser tanto positivo (+) como negativo (-) sirve de compañero al coeficiente, determinando entonces la naturaleza de éste.
• Coeficiente: por su parte, este elemento del término algebraico, o monomio, se encuentra constituido por un elemento numérico, y determina la cantidad por la cual debe ser multiplicada la variable, en caso de que le sea asignado un valor numérico.
• Variable: así mismo, la variable estará constituida en todo momento por un término literal, que se erigirá como representante de una cantidad desconocida, o que está por conocerse, y que puede asumir en un momento determinado un valor numérico.
• Grado: finalmente, el grado de un monomio viene dado por el exponente al cual se encuentre elevado la variable. En este sentido, para ser considerado un monomio, debe ser un número positivo entero. Igualmente, es el grado del polinomio el que sirve para identificar la mayoría de tipos de polinomios que existen.

Definición de Polinomio incompleto

Por otro lado, se conoce como Polinomio incompleto a uno de los tipos de polinomio, que se caracteriza porque los grados de sus términos no constituyen nunca una secuencia numérica ininterrumpida, sino que por el contrario están conformados por números que no presentan continuidad entre ellos. Un ejemplo de esto, puede ser el siguiente polinomio:

P_(x) = x⁵ – 4x³– x- 5

El cual, al estar ordenado, demuestra cómo los grados de cada uno de los términos de este polinomio sería: 5, 3, 1. Es decir, que no se pueden contar de forma continua, por lo que el polinomio en cuestión, además de ser un polinomio quíntico (de quinto grado) es también un polinomio incompleto.

Ejemplos de polinomios incompletos

No obstante, no siempre ocurrirá que los polinomios sobre los cuales se deba determinar si pertenece al tipo completo o no se encuentre ordenados, o tengan solo una variable, que permita el rápido conocimiento de cada uno de sus grados. De esta forma, se trata de casos en donde el polinomio debe ser sometido a otras operaciones antes de determinar si es un polinomio incompleto o un polinomio completo. A continuación, los casos más comunes:

Polinomios de una sola variable

En primer lugar, casi siempre los polinomios son presentados sin que hayan sido dispuestos según el orden de sus grados, por lo que es un poco más difícil determinar si se trata de un polinomio incompleto o no. Por ende, de tratarse de un polinomio con una sola variable, se debe proceder simplemente a disponerlo de forma descendente, según los valores de sus grados. Un ejemplo de esto puede darse en base al siguiente polinomio:

P_(x) = x – 3x⁴ – 5 – 3x²

Verificado que solo tiene una variable, se determinará que el mayor grado es 4, por lo que a partir de él se dispondrán los términos de forma descendente:

P_(x) = – 3x⁴ – 3x² + x– 5

Una vez ordenados, se verá que los grados corresponden entonces respectivamente a 4, 2 y 1. Es decir, no existe entre ellos una sucesión ininterrumpida, por lo que este polinomio, además de poder identificarse como un polinomio de cuarto grado, es un polinomio incompleto.

Polinomios de más de una variable

Igualmente, puede suceder que el polinomio que trata de identificarse como un polinomio incompleto sea uno conformado por monomios en donde haya presencia de más de una variable, por lo que para determinar cada uno de los grados sea necesario primero sumar todos los exponentes, y una vez identificados proceder a ordenar el polinomio y verificar si se trata de un polinomio incompleto o no. Un ejemplo de esto, puede ilustrarse en referencia al polinomio que se presenta a continuación:

P_(x) = x + x³yz + 2 – yz

En este caso, lo primero que se hará será sumar los exponentes de las variables, a fin de determinar cuál es el grado de cada uno de los términos:

x³yz → 3+1+1= 4
yz → 1+1= 2

Determinados los grados de cada uno de los monomios, se debe disponer el polinomio de forma ascendente:

P_(x) = x³yz – yz + x + 2

Hecho esto, se verá cómo los distintos grados de este polinomio será respectivamente: 4, 2, 1. Es decir, que entre ellos no existe una secuencia numérica, por lo que además de identificar a este polinomio, como un polinomio de grado cuatro, se puede afirmar también que se trata de un polinomio de tipo incompleto.

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