Es probable que, antes de entrar a definir qué son las Relaciones algebraicas, sea conveniente revisar de forma breve algunas definiciones, que permitirán entender esta categoría matemática dentro de su contexto preciso.
Definiciones fundamentales
En este sentido, puede que sea pertinente entonces abordar los conceptos de Conjunto, elemento, pertenencia y subconjunto, pues tener presente estas definiciones ayudará a entender mucho mejor la terminología relacionada con el concepto de relaciones algebraicas. A continuación, cada uno de estos conceptos:
Conjunto
Con respecto al Conjunto, este es visto como una agrupación de elementos, entre los cuales puede identificarse al menos un rasgo en común, de ahí que también sean interpretados como una colección abstracta de elementos que pertenecen a una misma naturaleza, lo cual también puede ser visto como otra definición de Conjunto. Así mismo, los elementos del conjunto, además de la cualidad de compartir entre ellos rasgos o características comunes, son los responsables de definir y constituir propiamente al conjunto, función que les corresponde además de una forma única y
Elemento
Por otra parte, la Teoría de Conjuntos define al Elemento como cada uno de los objetos que se encuentran dentro del Conjunto, y cuya agrupación –basada en los caracteres o rasgos en común- permite definir y constituir este tipo de colección abstracta. De igual forma, esta disciplina matemática ha determinado que el Elemento sostiene con el objeto llamado conjunto una relación de Pertenencia.
Pertenencia
Como su nombre lo indica, la Pertenencia será una relación matemática, existente entre cada uno de los elementos y el conjunto al cual pertenecen, o dentro del cual se encuentra incluido. En el caso concreto de los conjuntos, se dice que los elementos de un conjunto pertenecen a él, como forma de indicar entonces que ese elemento preciso puede hallarse en un conjunto determinado, y no en otro. El símbolo para representar la pertenencia será ∈, mientras que la forma de indicarla será la siguiente:
Suponiendo un conjunto A= {2, 4, 6, 8, 10} indicar las relaciones de pertenencia que existen entre ellas:
2 ∈ A
4 ∈ A
6 ∈ A
8 ∈ A
10 ∈ A
Subconjunto
Finalmente, otra de las definiciones que será necesario tener presente, previo a enfrentar la definición de Relaciones algebraicas será la de Subconjunto, concepto que puede ser explicado como todo conjunto o colección que se encuentra incluida dentro de un conjunto mayor. El símbolo para indicar que un grupo de elementos es subconjunto de una colección será ⊂. No obstante, la mejor forma de entender esta definición será a través de la exposición de un ejemplo:
Suponiendo un conjunto B= {1, 3, 5, 7, 9} determinar si el conjunto C= {1, 3, 5} puede ser considerado un subconjunto de B:
Para cumplir con lo solicitado por este postulado será necesario tomar en cuenta cada uno de los elementos de C, a fin de determinar si realmente se encuentran de forma plena dentro de B. Sin embargo, existe una operación para determinar si esto es así: la intersección, destinada a constituir una tercera colección conformada por los elementos comunes. Si el resultado coincide en todos sus elementos con el conjunto que quiere identificarse como subconjunto será porque ciertamente lo es:
B= {1, 3, 5, 7, 9}
C= {1, 3, 5}B ∩ C= {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 3, 5}
B ∩ C= {1, 3, 5}C = B ∩ C → C ⊂ B
Relaciones algebraicas
Por consiguiente, teniendo presentes estas definiciones, quizás sí sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de Relaciones algebraicas, la cual es básicamente una relación entre los elementos de dos conjuntos, explicada por el Álgebra como la correspondencia que existe entre los elementos de una primera colección y los elementos de un segundo conjunto. A los elementos del primer conjunto, que establecen relaciones con los elementos de otro conjunto, se les conoce como Dominio, mientras que los elementos de la segunda colección, que reciben esta relación, reciben el nombre de Rango, aun cuando ciertos autores prefieren denominarle también como recorrido.
Relaciones binarias
Así también puede suceder que la relación que existe entre A y B no sólo esté basada en un solo elemento de A y un solo elemento de B, sino que puede darse el caso de que varios elementos de A sostengan relaciones con varios elementos de B, situación que matemáticamente recibirá el nombre de Relaciones binarias, y contarán con la particularidad de que la relación que existe entre A y B podrá ser tomada a su vez como un subconjunto del producto cartesiano AxB:
A en B → R ⊂ A x B
Un ejemplo de este tipo de relación puede ser el siguiente:
Relaciones binarias vacías
No obstante, también puede suceder que teniendo dos conjuntos A y B no se establezca ningún tipo de relación entre los elementos de estas colecciones, en cuya situación se hablará entonces de Relación vacía, la cual se representará a su vez a través del signo R= { }. Un ejemplo de esto podría ser el siguiente:
Suponiendo un conjunto A= {2, 4, 6, 8} y un conjunto B= {1, 3, 5, 7} representar la Relación vacía entre ellos:
Para hacerlo, será necesario dibujar cada conjunto, demostrando cómo ningún elemento de A (Dominio) y B (rango) guardan nexos o relaciones entre ellos:
Un ejemplo de este tipo de relación puede ser el siguiente:
Por su parte, la Relación entre A y B podrá ser representada como R= { }
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