Definición de monomio

En consecuencia, la primera definición que quizás deba revisarse sea la del monomio, considerado por el Álgebra elemental como una expresión algebraica básica, la cual se encuentra conformada por una combinación de números y letras (elevadas a exponentes enteros y positivos, incluido el cero) entre los cuales no caben operaciones de resta, suma o división, siendo entonces las únicas permitidas, la multiplicación planteada entre el elemento numérico (coeficiente) y el elemento no numérico (literal o variable) así como la potenciación ocurrida entre el literal y su exponente.

Definición de polinomio

Por su parte, también es necesario traer a colación el concepto de polinomio, el cual es concebido también por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, que puede ser definida como la suma finita de monomios. De esta forma, se puede ver entonces cómo el polinomio es simplemente la unión de varios monomios entre los que se establecen operaciones de suma, y de vez en cuando de resta o multiplicación, y nunca de división. Así mismo, esta disciplina matemática señala que dentro de los polinomios pueden encontrarse cuatro elementos fundamentales, tal como se demuestra a continuación:

• Términos: con este nombre se distinguirán cada uno de los sumandos que conforman el polinomio, independientemente si son monomios o términos independientes.
• Términos independientes: son aquellos términos en donde no puede distinguirse una variable, se asume que su grado es cero.
• Coeficientes: son aquellos elementos numéricos que forman parte de los monomios, y que se encuentran multiplicando a las distintas variables.
• Grado: finalmente el grado está constituido por el valor del mayor exponente que pueda encontrarse en todos los términos (cuando existe una sola variable) o del grado absoluto con mayor valor (en el caso de monomios de más de una variable).

Ejemplos de cómo determinar el grado de un polinomio

Por consiguiente, a la hora de determinar el grado de un polinomio habrá que tomar en consideración entonces si se trata de términos de una sola variable o de más de una variable, pues es esto lo que decidirá los procedimientos a seguir para cumplir con la misión de identificar cuál es el grado de la expresión, a fin de poder clasificarla o iniciar un ordenamiento del polinomio, que son las principales funciones que cumple el elemento del Grado.  Es por esto entonces que a la hora de hablar de ejemplos de cómo determinar el Grado, deben abordarse por separado, tal como se muestra a continuación:

Cuando el polinomio tiene una sola variable

En caso de que los monomios que conforman la expresión tengan una sola variable, deberá seguirse el siguiente método, a fin de determinar el grado del polinomio:

Dado el polinomio 5x² – 3 determinar el grado.

En este polinomio, se pueden distinguir dos términos, uno de los cuales es un monomio. Es éste el término que dará cuenta entonces del grado del polinomio, por lo que debe repararse cuál es el exponente de la única variable que tiene, el cual es igual a 2. Por ende, este polinomio es de segundo grado, o cuadrático.

Dado el polinomio 3x³ – x⁴ + 3 determinar cuál es el grado

Por su parte, este polinomio cuenta con tres términos, dos de los cuales son monomios. Por consiguiente, al ver que son términos de una sola variable, se debe evaluar entonces cuál de los dos grados son mayores:

3x³ → 3

– x⁴ → 4

Al ser el exponente mayor el 4, ese será el valor que determine el grado del polinomio. Por ende, este será un polinomio de cuarto grado, o cuártico.

Dado el polinomio x² – 3x⁴ + 2x + 4 – 5 señalar cuál es su grado

Este polinomio cuenta por su parte con cinco términos, de los cuales tres son monomios. Independientemente del número de sus términos, al contar todos con una variable, debe ubicarse el mayor, a fin de determinar el grado del polinomio:

x² →  2

– 3x⁴ → 4

2x → 1

Al revisar los grados de cada término, se concluye que el mayor de ellos es 4. Por lo tanto, el grado de este polinomio es 4, es decir, que se trata de un polinomio de cuarto grado.

Cuando el polinomio tiene más de una variable

Por otro lado, puede ocurrir que uno de los términos –o cada uno de ellos- cuenten con más de una variable, en cuyo caso, se debe calcular el grado absoluto de cada monomio, lo cual se logrará sumando los valores de los exponentes, que se pueden verse en cada una de los monomios, escogiendo el de mayor valor. A continuación, algunos ejemplos:

Dado el polinomio 4x – 3x²y + 4  determinar cuál es el grado.

Tal como dice la teoría, al estar enfrente de un polinomio de más de una variable, a la hora de determinar el grado de la expresión será necesario, determinar el grado de cada monomio:

4x →  1 (cuando una variable no cuenta con presencia de un exponente explícito, se asume que éste es igual a la unidad)

3x²y → 2+1= 3

Al revisar los grados absolutos de cada monomio, se puede concluir que el de mayor valor corresponde al segundo término, el cual es igual a 3. Por ende el polinomio puede ser considerado un polinomio de tercer grado, o cúbico.

Dado el polinomio  3xy – 2x²y² – xy³ + 3 determinar el grado

En este caso, también se puede ver cómo el polinomio cuenta con cuatro términos, tres de los cuales son monomios de más de una variable, por lo que para determinar el grado del polinomio, se debe calcular el grado absoluto de cada monomio:

3xy → 1+1= 2

– 2x²y  → 2+1= 3

– xy³ → 1+3= 4

Al hacerlo, se puede ver cómo el tercer monomio cuenta con el grado absoluto 4. De ahí, que se pueda concluir que el polinomio sea de cuarto grado, o cuártico.

Dado el polinomio 2x²y³ + 2xyz – yz³ + 5xy + 3 – 4 + 5 determinar el grado

Finalmente, en este polinomio se pueden contar siete términos, cuatro de los cuales son monomios de más de una variable, por lo que para determinar el grado del polinomio, se deberá calcular el grado absoluto de cada monomio:

2xy → 2+3= 5

2xyz → 1+1+1= 3

– yz³ → 1+3= 4

5xy → 1+1= 2

Al revisar cada uno de ellos, se tiene entonces que el mayor grado absoluto es equivalente a 5, por lo que se concluye que el polinomio es de quinto grado, o quíntico.

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