Cómo dividir un polinomio entre un monomio

En este sentido, cada uno de los distintos casos de división de polinomios, es decir, si el polinomio se divide entre un monomio o un polinomio, plantea procedimientos u operaciones distintas. En el primer caso, cuando las dos expresiones involucradas en la división son un polinomio (suma finita de monomios y término independientes) y un monomio (expresión algebraica elemental constituida por el producto de números y letras, elevadas siempre a exponentes enteros y positivos) se deberán tener en cuenta los siguientes pasos:

• Una vez planteada la operación, se debe revisar los términos para comprobar que en efecto se trata de un polinomio y un monomio, lo cual se hace verificando que los exponentes a los que se encuentran elevados los literales de estas expresiones, en efecto sean números enteros y positivos, incluido el cero.
• El segundo paso será entonces la organización del polinomio, el cual deberá se dispuesto en forma descendente según su grado.
• Hecho esto, se procederá a plantear la división del monomio entre cada uno de los términos que conforma el polinomio.
• Cada división se resolverá a través de la división de los coeficientes de cada término, y la resta de sus exponentes.
• Finalmente, se expresará el resultado.

Ejemplos de división de polinomios entre monomios

Sin embargo, tal vez la forma más eficiente de explicar los pasos involucrados en la división de un polinomio entre un monomio, sea a través de la presentación de algunos ejemplos, que sirvan para mostrar en la práctica, lo que dicta la teoría. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente división 3x⁴ + 2x³ + 12x² + 8 :  2x=

En este caso, una vez verificado que ambos términos tienen exponentes positivos y enteros, se encuentra igualmente que se trata de un polinomio en orden descendente, por lo que no es necesario ordenarlo. De esta forma, ante esta operación, el primer paso que se hará será el de plantear las distintas divisiones:

3x⁴ + 2x³ + 12x² + 8 :  2x=

(3x⁴ : 2x) + (2x³:  2x) + (12x² : 2x) + (8 : 2x)=

Hecho esto, se entrará a resolver cada una de las divisiones expresadas, a través de la división de sus coeficientes y la resta de sus exponentes:

(3x⁴ : 2x) + (2x³:  2x) + (12x² : 2x) + (8 : 2x)=
(3:2)x^4-1  + (2:2)x^3-1 + (12:2)x^2-1  + (8:2)x=
(1)x³ + (1)x² + 6x + 4x=
x³ + x² + 6x + 4x

Resultado final:  3x⁴ + 2x³ + 12x² + 8 :  2x=  x³ + x² + 6x + 4x

Ejemplo 2

Resolver la siguiente operación 5x + 15x⁴ + 10x² + 25x³ : 5x =

En este caso, en cambio, una vez determinado que se trata tanto de un polinomio como de un monomio, se concluye también que el polinomio no cuenta con ningún orden, por lo que antes de continuar con la operación, se deberá ordenar el polinomio de forma descendente según los valores de sus grados:

5x + 15x⁴ + 10x² + 25x³ →  15x⁴  + 25x³   + 10x² +  5x   (orden descendente)

Una vez hecho esto, se deberá entonces plantear nuevamente la división, a fin de que quede expresada la operación establecida entre el monomio y cada uno de los términos del polinomio:

15x⁴  + 25x³   + 10x² +  30x  : 5x =
(15x⁴ : 5x) + (25x³  : 5x)  + (10x² : 5x) + (30x  : 5x)=

Como dicta el caso, cada división se resolverá por medio de la división de sus coeficientes y la resta de sus exponentes:

(15x⁴ : 5x) + (25x³  : 5x)  + (10x² : 5x) + (30x  : 5x)=
(15: 5)x^4-1  + (25: 5)x^{3 -1}   + (10: 5)x^2-1  + (30: 5)x^1-1  =
(3)x³  + (5)x²   + (2)x  + (6)  =
3x³  + 5x²   + 2x  + 6

Resultado final: 5x + 15x⁴ + 10x² + 25x³ : 5x = 3x³  + 5x²   + 2x  + 6

Ejemplo 3

Resolver la siguiente operación 9x² – 3x⁴ – 12x³ + 24x⁵ : 3x² =

Lo primero que deberá hacerse, ya que se ha verificado que ambas expresiones cuentan con exponentes positivos y enteros, será organizar el polinomio de forma descendente:

9x² – 3x⁴ – 12x³ + 24x⁵ →  24x⁵– 3x⁴ – 12x³ + 9x² (orden descendente)

En segundo lugar, una vez ordenado el polinomio, se deberán expresar cada una de las divisiones necesarias para resolver esta operación:

24x⁵– 3x⁴ – 12x³ + 9x² : 3x² =
(24: 3)x^5-2  + (-3:3)x^4-2 + (-12:3)x^3-2 + (9:3)x^2-2  =
(8)x³  + (-1)x² + (-4)x¹ + (3)  =
8x³  -x² -4x + 3

Resultado final: 24x⁵– 3x⁴ – 12x³ + 9x² = 8x³  -x² -4x + 3

Ejemplo 4

Resolver la siguiente operación  32x – 4x⁴ – 16x³ + 8x² – 40x⁵ : 4x=

Ya que se ha comprobado que las dos expresiones cuentan con exponentes enteros y positivos, se deberá proceder a ordenar de forma ordenada los términos, respetando los signos con los que cada uno están acompañados:

32x – 4x⁴ – 16x³ + 8x² – 40x⁵ → – 40x⁵– 4x⁴ – 16x³ + 8x² + 32x

Se planteará entonces las siguientes divisiones:

– 40x⁵– 4x⁴ – 16x³ + 8x² + 32x : 4x
(– 40: 4)x^5-1+( – 4:4)x^4-1+  (– 16:4)x^3-1 + (8:4)x^2-1 + (32:4)x^1-1 =
(-10)x⁴+( -1)x³+  (-4)x² + (2)x + (8) =
-10x⁴ -x³-4x² + 2x + 8 =

Resultado final: 32x – 4x⁴ – 16x³ + 8x² – 40x⁵ : 4x=  -10x⁴ -x³-4x² + 2x + 8

Ejemplo 5

Resolver la siguiente operación 6x⁵ – 18x² + 24x³ – 36x⁴ : 6x²=

Con la seguridad de que se trata de un polinomio y un monomio, debido a que sus exponentes cumplen con la cualidad de ser números enteros y positivos, se deberá proceder a ordenar el polinomio, disponiendo sus términos de forma descendente:

6x⁵ – 18x² + 24x³ – 36x⁴ →  6x⁵– 36x⁴ + 24x³ – 18x²

Hecho esto, se plantearán las divisiones a resolver:

6x⁵– 36x⁴ + 24x³ – 18x² : 6x²=

(6:6)x^5-2 + (-36:6)x^4-2 + (24:6)x^3-2 + (–18:6)x^2-2 =

(1)x³ + (-6)x² + (4)x¹ + (–3) =

x³ -6x² + 4x –3

Resultado final: 6x⁵ – 18x² + 24x³ – 36x⁴ : 6x²=  x³ -6x² + 4x –

Imagen: flickr.com