Antes de abordar algunos ejemplos sobre la aplicación de la Identidad trinómica de Arganˈd, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender cada uno de estos casos en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, podrá tomarse también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Trinomios, Identidades notables e Identidad de Arganˈd, por encontrarse directamente relacionadas con los ejercicios que se abordarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Trinomios
De esta manera, se comenzará por decir que los Trinomios han sido explicados, por las distintas fuentes, como una expresión algebraica, que se encuentra conformada por la suma o resta de monomios, es decir, de términos algebraicos constituidos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los cuales existe una operación de multiplicación.
En otras palabras, los Trinomios son entonces polinomios de tres términos o monomios. Algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica serán los siguientes:
x4 + y2 – z =
a + b3 -2 =
3x2 – y – 5 =
Identidades notables
Por otro lado, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas como el conjunto de normas o fórmulas matemáticas, orientadas a la factorización, es decir, al proceso por medio del cual los polinomios se convierten en producto.
Así mismo, las Matemáticas señalan que las identidades notables –al igual que los productos notables de los cuales ellas forman parte- permiten que la multiplicación de polinomios se realice de forma directa, sin que deba procesarse término por término, lo cual se traduce tanto en un ahorro de tiempo, como en una reducción del riesgo de cometer errores.
Identidad trinómica de Arganˈd
Finalmente, se tomará un momento para revisar el concepto de Identidad trinómica de Arganˈd, la cual ha sido señalada, a grandes rasgos, como una de los principales tipos de identidades notables, que pueden encontrarse en cuanto a la factorización de polinomios.
De forma mucho más específica, la Identidad trinómica de Arganˈd se usa en trinomios conjugados, es decir, cuando se debe factorizar un par de polinomios de tres términos, que coinciden por completo en cuanto al valor de sus términos, pero se diferencian en su primer signo. Sin embargo, las matemáticas señalan que existen dos casos de Identidad de Arganˈd. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:
Cuando el trinomio es de forma x2 + x + 1
Para este caso, la teoría matemática señala que siempre que se tengan trinomios de esta forma, y se desee factorizarlos, entonces el producto de estos polinomios será siempre igual a la potencia cuarta del primer término, más el cuadrado del primer término, más el término independiente. Este caso puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
(x2 + x + 1) . (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Cuando el trinomio es de forma x2 + xy + y2
Por otro lado, también puede suceder que los trinomios que se buscan factorizar sea de forma x2 + xy + y2. En este caso, la factorización de estas expresiones algebraicas serán igual a la cuarta potencia del primer término, más el cuadrado del primer término por el cuadrado del segundo, más la cuarta potencia del segundo término. La expresión matemática de esta aplicación será la siguiente:
(x2 + xy + y2) . (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Ejemplos de aplicación de la Identidad trinómica de Arganˈd
Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la exposición de algunos ejemplos, que permitirán ver de forma concreta cómo debe aplicarse esta identidad notable a los trinomios. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Factorizar los siguientes trinomios:
(x4+ x2 + 1).(x4 – x2 + 1) =
Ante este ejercicio, lo primero que deberá hacerse es revisar los términos que lo conforman. Al hacerlo, se descubre que se trata de dos trinomios, que coinciden por completo en sus términos, salvo por un signo. En consecuencia, se concluye que para resolver este planteamiento, efectivamente, puede usarse la Identidad trinómica de Arganˈd. Para hacerlo, se deberá usar la siguiente fórmula, la cual corresponde a la forma de los trinomios:
(x2 + x + 1) . (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Se aplica entonces en los trinomios que se deben factorizar:
(x4+ x2 + 1).(x4 – x2 + 1) = x8 + x4 + 1
Se consideran factorizados estos trinomios, lo cual se logra a través de la suma de los exponentes de los monomios, así como la consideración de los signos de cada uno de ellos.
Ejemplo 2
Factorizar los siguientes trinomios:
(x6 + x3y + y2) . (x6 – x3y + y2) =
En este caso, también será necesario reparar bien en la forma que tienen los trinomios involucrados. Al hacerlo, se descubre que son correspondientes a aquellos que pueden ser factorizados por el segundo caso de la Identidad trinómica de Arganˈd. Por consiguiente, se deberá entonces aplicar la fórmula:
(x2 + xy + y2) . (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
(x6 + x3y + y2) . (x6 – x3y + y2) = (x3)4 + (x3y)2 + y4
Así mismo, se resuelven las distintas operaciones planteadas:
(x3)4 + (x3y)2 + y4 = x12 + x6y2 + y4
Por último, se expresa matemáticamente el resultado obtenido en la factorización:
(x6 + x3y + y2) . (x6 – x3y + y2) = x12 + x6y2 + y4
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