Ejemplos de cómo expresar radicales racionales en formas de potencias

Expresión de un radical racional en forma de potencia

No obstante, previo a continuar con la definición de esta operación, habrá que recordar también que un radical racional será toda expresión matemática en donde exista un número racional arropado por un signo radical, es decir, que será toda expresión radical que tenga como radicando una fracción. Por otro lado, la potencia será también una operación matemática en donde un número –que sirve de base- se multiplica a sí mismo tantas veces como señale un segundo elemento, denominado exponente. En el caso de potencias de base radical serán operaciones de este tipo que tengan como base una fracción.

Por su parte, las Matemáticas han señalado que la operación por medio de la cual se expresa un radical racional en forma de potencia será el procedimiento consistente en lograr que un radical, que tiene como radicando una fracción, se convierta en una potencia, en donde tanto base como exponentes están compuestos por elementos racionales. De esta manera, se prescinde del signo radical, y la fracción pasa de ser un radicando a ser una base.

Pasos para convertir un radical racional en una potencia

Así mismo, la disciplina matemática indica que la forma adecuada de realizar esta operación está compuesta por una serie de pasos, descritos entonces de la siguiente manera:

1.- Se precisará cuál es el índice del radical.

2.- Se precisará cuál es el exponente al que se encuentra elevado el radical racional.

3.- Se tomará el exponente del radical racional como numerador del nuevo exponente, mientras que el índice del radical pasará a ser el denominador de este exponente racional.

4.- Se deja la fracción que servía como radicando en forma de base y se eleva al exponente racional que se ha formado con el exponente y el índice que afectaban en un principio al radical racional.

Esta operación podrá ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

Ejemplos de cómo expresar un radical racional en forma de potencia

No obstante, puede que la forma más acertada de estudiar este tipo de procedimiento matemático sea a través de una serie de ejemplos, que servirán para ver de forma práctica cómo se lleva a cabo de forma correcta esta operación. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Expresar en forma de potencia el siguiente radical racional:

En este caso, se tendrá un radical racional de índice 3, es decir, una raíz cubica, el cual está a su vez elevado al cuadrado. Para convertir esta expresión en una potencia, se deberá tomar el exponente y el índice, a fin de que respectivamente funjan como numerador y denominador del exponente racional al que será elevada la fracción:

Ejemplo 2

Expresar el siguiente radical racional en forma de potencia:

Por su parte, en este ejemplo se tendrá una raíz cuarta, y un radical racional que en apariencia no está elevado a ningún exponente. En este caso, se asume que el exponente del radical racional está implícito, y está constituido por la unidad, la cual entonces servirá de numerador al exponente racional que tendrá este radical racional cuando se exprese en forma de fracción, mientras que el denominador del exponente estará constituido por el 4 del índice:

Ejemplo 3

Expresar en forma de potencia la siguiente expresión:

Al revisar este radical racional aparecerán dos circunstancias a evaluar. En primer lugar, el radical racional no estará elevado a un exponente explícito, por lo que se considerará este igual a la unidad. Por otro lado, el índice del radical tampoco se encuentra señalado de forma escrita, por lo que se considerará igual a dos, es decir que se trata de una raíz cuadrada. Determinados cada uno de estos elementos, ya se sabrá entonces cómo debe estar conformado el exponente racional al que se eleve la fracción que sirve de radicando, para ser expresada entonces como una potencia:

Ejemplo 4

Expresar en forma de potencia el siguiente radical racional:

Como en todos los casos, que implique este tipo de procedimiento, se deberán precisar tanto el exponente como el índice que se encuentran afectando al número racional que sirve de radicando. En consecuencia, se tiene que es un radical racional de índice tres (raíz cúbica) el cual se encuentra elevado también al cubo. En consecuencia, culminado este paso, se conoce entonces cómo se deberá conformar el exponente al cual se elevará el radicando cuando comience a funcionar como potencia:

En este caso, se presenta una particularidad, pues al estar conformados exponente e índice por el mismo número, entonces se crea como exponente un número racional que se resolverá como uno. Al hacer, la fracción queda elevada a un exponente igual a 1, resolviéndose la operación de potenciación tal cual indica la norma: todo número elevado a un exponente igual a 1 es igual a sí mismo:

Se considera entonces cumplida la tarea de expresar un radical racional como una potencia.

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