Definiciones fundamentales

De esta manera, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Productos notables y Factor común en la factorización, por encontrarse directamente relacionados con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Productos notables

Por consiguiente, podrá comenzarse por decir que los Productos notables han sido explicados por el Álgebra como una regla fija, orientada a la factorización –proceso de convertir una expresión algebraica en un producto o polinomio factorizado- que permite realizar ciertas operaciones de forma más directa, sin la necesidad de tener que multiplicar detalladamente cada uno de los términos de la expresión.

En consecuencia, los Productos notables facilitan la realización de las operaciones de multiplicación entre polinomios, haciendo que sean mucho más sencillas, al tiempo que se evita también la aparición de errores.

Factor común (productos notables)

En segundo lugar, será igualmente necesario revisar el concepto de Factor común, en relación a los Productos notables, lo cual ha sido explicado como una propiedad matemática, que tiene como finalidad resolver de forma sencilla una operación de multiplicación entre polinomios, a través de la aplicación del Factor común.

De manera mucho más precisa, el Factor común en la factorización dictará que el producto de multiplicar un binomio, que tenga la forma a + b por un término específico, y toda vez que se aplique la Propiedad distributiva, será equivalente a la suma de los productos de este término en común multiplicado por cada uno de los sumandos, lo cual puede anotarse con la siguiente expresión matemática:

c . (a + b) = c.a + c.b

Ejemplos de Factor común (Productos notables)

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar algunos casos que sirven de ejemplo a la forma en que se puede factorizar una expresión algebraica, a través del método del Factor común. A continuación, cada uno de estos ejercicios:

Ejercicio 1

Factorizar a través del método del Factor común la siguiente expresión algebraica:

x² + 8x =

Al momento de querer factorizar esta expresión se comenzará entonces por identificar los factores comunes entre los dos términos:

x² + 8x = → x² + 8x =

Así mismo, deberán especificarse los elementos, para esto se puede traer a capítulo el concepto de potencias, quedando la expresión de la siguiente manera:

x² + 8x = → x . x + 8x

Al obtener esta expresión, se hace uso entonces de la propiedad distributiva, para hallar el Factor común:

x . x + 8x →  x . (x+8)

Se considera realizada la Factorización, habiendo empleado el método del Factor común. Por ende, la relación se puede expresar de la siguiente forma:

x² + 8x  → se factoriza como x(x + 8)

Ejercicio 2

Factorizar por medio del método del Factor común el siguiente polinomio:

4x⁵ – 8x³ + 6x² =

Para cumplir con este procedimiento, se deberá revisar cuáles factores comunes existen entre los términos, tanto a nivel numérico como a nivel literal. Para esto, cada término literal se expresa desde el concepto de potencia:

x⁵ = x. x. x. x. x
x³ = x. x. x
x² = x . x

En todos ellos, se concluye que el término en común es x.x que finalmente es igual a x^2. Así también, se toman los elementos numéricos, y se expresan como productos:

4 = 2 x 2
8 = 2 x 4
6 = 2 x 3

En este caso, se tiene entonces que el factor común es 2. En consecuencia, el máximo factor común de estos términos sería 2x² elemento este que se multiplicaría por todos los términos del polinomio, los cuales deben ser determinados ahora:

2x² ( ? – ? + ?) =

Entonces a la hora de especificar los términos, se encontrarán que serán equivalentes a los factores que no se sacaron. Por ejemplo, en el primer término se sacó 2x² pensando que el término al que se le extrajo este factor era 4x⁵ se puede inferir que queda 2x³.

2x² (2x³ – ? + ?) =

Igual se piensa para el segundo término. Si el factor que se extrajo fue 2x² y el término original era 8x³ se concluye que ha quedado 4x:

2x² (2x³ – 4x + ?) =

Finalmente, se tiene que observar que para el último término, se sacó un total de 2x² al término original 6x². Por ende, se asume que no se sacó del término 3:

2x² (2x³ – 4x + 3)

Se considera entonces que se ha realizado la factorización del polinomio, usando el método del Factor común, encontrándose la siguiente equivalencia:

4x⁵ – 8x³ + 6x²  → 2x² (2x³ – 4x + 3)

Ejercicio 3

Factorizar, por medio del método del Facto común la siguiente expresión algebraica:

x⁸ – 4x³ =

Para esto, se comienza expresando según el concepto de potencia los distintos casos de los elementos literales:

x⁸ = x . x. x. x. x. x. x. x
x³ = x . x. x

El factor común para los elementos literales es x .x . x que resulta igual a x³.

Así mismo, se toman los elementos numéricos, y se expresan en forma de producto:

1 (se asume que delante de la x⁸ hay un coeficiente igual a la unidad) = 1 x 1
4 = 1 x 4

El factor común entre estos dos números es la unidad = 1.

Por ende, el máximo factor común de estos términos será igual a x³

Se comienza entonces a determinar qué ha quedado en los términos, luego de que se ha extraído el Factor común:

x ³ . ( ? – ?)

En el primer término que era igual a x⁸ si se ha extraído x³ entonces se asume que puede quedar x⁵:

x³ . (x⁵ – ?)

Ahora para determinar el segundo término, se considerará entonces que al término 4x³ se le ha sacado x³ por lo que entonces quedará solo 4:

x³ . (x⁵ – 4) =

Se considera que se ha logrado entonces la factorización por medio del método del Factor común:

x⁸ – 4x³  → x³ . (x⁵ – 4)

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