Definiciones fundamentales

Al respecto, puede ser conveniente comenzar por la propia definición de Conjunto, lo cual permitirá aclarar desde el principio la naturaleza del objeto sobre el cual se realiza la operación de la Diferencia Simétrica. Así mismo, puede ser pertinente revisar el concepto de esta operación, pues es en ella en donde tiene lugar esta propiedad, que también será explicada. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

En este sentido, será necesario destacar que las Matemáticas han definido al Conjunto como un objeto, conformado por elementos, en los cuales puede distinguirse un rasgo específico, de ahí que sean considerados pertenecientes a la misma naturaleza, así como con la capacidad de conformar una sola colección. Por otro lado, esta disciplina también ha indicado que los elementos son los únicos que pueden cumplir el papel de definir y conformar al conjunto, de una forma única y exclusiva.

Diferencia Simétrica

En el mismo orden de ideas, se llamará entonces la atención sobre la Diferencia Simétrica, la cual ha sido explicada a su vez por el Álgebra de conjuntos como una operación básica, en donde dos conjuntos dan vida a una tercera colección, conformada por aquellos elementos que aparecen solamente en alguno de los dos conjuntos. Es decir, que en la operación de Diferencia Simétrica, un conjunto A y un conjunto B forman un conjunto A∆B en donde se pueden encontrar como elementos aquellos que están en A, pero no en B, y viceversa.

Propiedad conmutativa en la Diferencia Simétrica

Por último, se deberá hacer referencia al concepto de la Propiedad Conmutativa que tiene lugar en la Diferencia Simétrica, la cual –según el Álgebra de conjuntos- es una propiedad matemática, que dicta expresamente que en esta operación no importa el orden en el que puedan ser presentados los conjuntos, pues siempre se obtendrá el mismo resultado, aun cuando los elementos del conjunto final varíen un poco en su orden. La expresión matemática de esta Ley matemática puede corresponder a la siguiente forma:

A∆B= B∆A

Ejemplos de Propiedad conmutativa (Diferencia Simétrica)

Teniendo claras estas definiciones, será entonces mucho más sencillo aproximarse a los distintos casos que pueden servir de ejemplo al cómo se cumple la Propiedad conmutativa en la operación de Diferencia Simétrica. Seguidamente, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por países cuyo nombre comiencen por la letra “a”: A= {Alemania, Afganistán, Andorra, Arabia Saudita, Armenia, Australia} y un conjunto B, constituido por países asiáticos, B= {Jordania, Afganistán, Arabia Saudita, Israel, Japón, Armenia, Malasia, Vietnam} comprobar cómo se cumple la Propiedad Conmutativa en la operación de Diferencia Simétrica.

Para cumplir con la solicitud hecha en este postulado, será necesario, plantear la expresión matemática de esta propiedad, a fin de poder realizar las distintas operaciones que ella involucra.

A= {Alemania, Afganistán, Andorra, Arabia Saudita, Armenia, Australia}
B= {Jordania, Afganistán, Arabia Saudita, Israel, Japón, Armenia, Malasia, Vietnam}

A∆B= B∆A

A∆B= {Alemania, Afganistán, Andorra, Arabia Saudita, Armenia, Australia} ∆ {Jordania, Afganistán, Arabia Saudita, Israel, Japón, Armenia, Malasia, Vietnam}
A∆B= {Alemania, Andorra, Australia, Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam}

B∆A= {Jordania, Afganistán, Arabia Saudita, Israel, Japón, Armenia, Malasia, Vietnam} ∆ {Alemania, Afganistán, Andorra, Arabia Saudita, Armenia, Australia}
B∆A= {Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam, Alemania, Andorra, Australia}

Una vez resuelta cada una de las operaciones, se deberán comparar los resultados, a fin de determinar si los conjuntos producidos según cada orden, en realidad son idénticos:

A∆B= {Alemania, Andorra, Australia, Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam}
B∆A= {Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam, Alemania, Andorra, Australia}

Al hacerlo, se puede ver cómo ambos conjuntos, a pesar de tener órdenes distintos, cuentan con los mismos elementos, de ahí que se pueda afirmar que en efecto se ha cumplido la Propiedad Conmutativa:

A∆B= B∆A
{Alemania, Andorra, Australia, Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam} = {Jordania, Israel, Japón, Malasia, Vietnam, Alemania, Andorra, Australia}

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, constituido por instrumentos musicales en general: B= {Cuatro, Guitarra, Piano, Violín, Batería, Maracas} y un conjunto C, conformado por instrumentos musicales de cuerda: C= {Violín, Viola, Violonchelo, Guitarra, Cuatro, Piano, Bandolina} comprobar la Propiedad Conmutativa en la Diferencia Simétrica:

B= {Cuatro, Guitarra, Piano, Violín, Batería, Maracas}
C= {Violín, Viola, Violonchelo, Guitarra, Cuatro, Piano, Bandolina}

B∆C= C∆B

B∆C= {Cuatro, Guitarra, Piano, Violín, Batería, Maracas} ∆ {Violín, Viola, Violonchelo, Guitarra, Cuatro, Piano, Bandolina}
B∆C= {Batería, Maracas, Viola, Violonchelo, Bandolina}

C∆B= {Violín, Viola, Violonchelo, Guitarra, Cuatro, Piano, Bandolina} ∆ {Cuatro, Guitarra, Piano, Violín, Batería, Maracas}
C∆B= {Viola, Violonchelo, Bandolina, Batería, Maracas}

B∆C= C∆B
{Batería, Maracas, Viola, Violonchelo, Bandolina} = {Viola, Violonchelo, Bandolina, Batería, Maracas}

Ejemplo 3

Dado un conjunto A, en donde se pueden contar como elementos frutas que comienzan por la letra “m”: A= {Manzana, Melón, Mandarina, Mango, Maracuyá, Merey} y un conjunto B, conformado por frutas en general: B= {Sandía, Melón, Mango, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja} comprobar cómo se cumple la Propiedad Conmutativa en la Diferencia Simétrica.

A= {Manzana, Melón, Mandarina, Mango, Maracuyá, Merey}
B= {Sandía, Melón, Mango, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja}

A∆B= B∆A

A∆B= {Manzana, Melón, Mandarina, Mango, Maracuyá, Merey} ∆ {Sandía, Melón, Mango, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja}
A∆B= {Manzana, Mandarina, Maracuyá, Sandía, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja}

B∆A=  {Sandía, Melón, Mango, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja} ∆ {Manzana, Melón, Mandarina, Mango, Maracuyá, Merey}
B∆A=  {Sandía, Níspero, Melocotón, Naranja, Manzana, Mandarina, Maracuyá}

A∆B= B∆A

{Manzana, Mandarina, Maracuyá, Sandía, Níspero, Melocotón, Merey, Naranja} = {Sandía, Níspero, Melocotón, Naranja, Manzana, Mandarina, Maracuyá}

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