Definiciones fundamentales

Sin embargo, antes de avanzar sobre los distintos casos que pueden servir de ejemplo a esta Ley matemática, quizás lo mejor sea reparar en dos definiciones esenciales para entender la Propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos en su contexto adecuado. A continuación, las definiciones:

Unión de Conjuntos

En este sentido, quizás el primer concepto que deba abordarse es el de Unión de Conjuntos, la cual es concebida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, por medio de la cual dos o más conjuntos proceden a unirse, generando un conjunto, conformado por todos y cada uno de los elementos que podían contarse originalmente en los conjuntos que participaron de la operación. El signo usado en esta disciplina matemática para indicar la operación de unión es ∪, mientras que su expresión matemática corresponderá a la siguiente forma:

A ∪ B ∪ C = │A│ + │B│ + │C│

Conjunto vacío

Igualmente, resulta pertinente reparar en la definición del Conjunto vacío, el cual es entendido a su vez como aquel conjunto en donde no puede contarse ningún elemento, es decir, aquel conjunto que, como su nombre lo indica, está vacío, pues no tiene elementos dentro de él. Por lo general este conjunto se denota con el signo ∅, a pesar de que existen corrientes que prefieren el uso de dos llaves { }, una frente a otra, sin que en ellas pueda verse presencia de ningún elemento. Así también es importante comentar que el Conjunto vacío es tomado por el Álgebra de conjuntos como equivalente a cero (0), tomándolo así para sus distintas operaciones, por lo que entonces el Elemento neutro dentro del Álgebra de Conjuntos será el Conjunto Vacío.

Ejemplos de Elemento neutro (Unión de Conjuntos)

Una vez revisadas estas definiciones, será mucho más sencillo entender los términos, elementos y operaciones que pueden verse relacionados en las distintas operaciones de unión que pueden establecerse como ejemplos de la Propiedad del Elemento Neutro. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un elemento A, conformado por nombres de animales que empiezan con la letra “t”: A= {Toro, Tiburón, Tigre, Tejón, Tarántula, Tortuga, Tórtola} comprobar la Propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos.

A fin de dar cumplimiento a la exigencia que puede verse en este postulado, será necesario entonces plantear una operación de unión entre este conjunto A y el Conjunto vacío, el cual cumple la función de Elemento Neutro dentro del Álgebra de Conjuntos:

A ∪ ∅=

{Toro, Tiburón, Tigre, Tejón, Tarántula, Tortuga, Tórtola} ∪ ∅=

Al intentar resolver esta operación, se podrá encontrar entonces que hay un conjunto A con siete elementos, y el Conjunto Vacío con ningún elemento, por lo que una operación de Unión de conjuntos sólo puede arrojar un conjunto de siete elementos, todos contenidos por el conjunto A:

{Toro, Tiburón, Tigre, Tejón, Tarántula, Tortuga, Tórtola} ∪ ∅= {Toro, Tiburón, Tigre, Tejón, Tarántula, Tortuga, Tórtola}

De esta forma, se puede entender entonces que la unión de este conjunto A con el Conjunto Vacío, o Elemento neutro ha dado como resultado el propio conjunto A:

A ∪ ∅= A

Por ende, se puede considerar que la Propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos ha sido totalmente comprobada.

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, conformado por colores en general: B = {Amarillo, Azul, Rosado, Rojo, Verde, Violeta, Marrón, Turquesa, Aguamarina} proceder a realizar una operación de unión con el Conjunto Vacío.

Para esto será necesario comenzar por expresar la operación del Álgebra de Conjuntos que ha sido solicitada:

B ∪ ∅=

{Amarillo, Azul, Rosado, Rojo, Verde, Violeta, Marrón, Turquesa, Aguamarina} ∪ ∅=

Una vez hecho esto, se debe resolver entonces la operación. Sin embargo, es preciso resaltar que en esta operación existe un conjunto que cuenta con nueve elementos, mientras el conjunto con el que pretende establecer la unión no presenta ninguno, es decir, está vacío, por ende el resultado será un conjunto en donde sólo puedan contarse nueve elementos, los cuales coincidirán plenamente con los elementos del conjunto B:

{Amarillo, Azul, Rosado, Rojo, Verde, Violeta, Marrón, Turquesa, Aguamarina} ∪ ∅= {Amarillo, Azul, Rosado, Rojo, Verde, Violeta, Marrón, Turquesa, Aguamarina}

Al hacerlo, se puede concluir entonces que al unir el conjunto B con el Conjunto vacío el resultado fue el mismo conjunto B:

 B ∪ ∅= B

Hecho que vendría además a comprobar la Propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos.

Ejemplo 3

Si se tiene un conjunto C, en donde se pueden contar como elementos nombres femeninos que empiezan con la letra “t”: C= {Tatiana, Taroa, Teresa, Tabatha, Tais, Tamara, Thalia} verificar qué sucede si se realiza una operación de unión de conjuntos con el Elemento Neutro.

A fin de dar curso a lo solicitado en este postulado, será necesario comenzar por plantear la operación, por lo que se indicará que se desea unir el conjunto C con el Conjunto Vacío, el cual funge como Elemento Neutro dentro del Álgebra de Conjuntos, en específico para operaciones como la de la Unión de conjuntos:

C ∪ ∅=

{Tatiana, Taroa, Teresa, Tabatha, Tais, Tamara, Thalia} ∪ ∅=

Hecho esto, se estará frente a una situación en donde un conjunto cuenta con siete elementos, mientras que aquel conjunto al que quiere unirse no presenta ninguno dentro de sí. En este caso, el resultado será un conjunto que contenga de forma absoluta y en el mismo orden cada uno de los elementos que pueden contarse en el primer conjunto:

{Tatiana, Taroa, Teresa, Tabatha, Tais, Tamara, Thalia} ∪ ∅= {Tatiana, Taroa, Teresa, Tabatha, Tais, Tamara, Thalia}

Por ende, se puede concluir entonces que al tomar un conjunto C y unirlo al Conjunto vacío, el resultado será equivalente al  propio conjunto C:

C ∪ ∅= C

Lo cual además vendría a referir a la Propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos, comprobando totalmente esta Ley inherente al Álgebra de Conjuntos.

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