Propiedad sobre subconjuntos en el Conjunto Complementario

Al respecto, será necesario comenzar por recordar brevemente que el Álgebra de conjuntos define como Subconjunto a aquella colección de elementos que además de conformar un conjunto, se pueden considerar contenidos de forma plena en otro conjunto, en cuyo caso se dice que el subconjunto está contenido o forma parte de tal conjunto. Visto esto, se puede entonces pasar a la definición que da esta disciplina matemática sobre la propiedad de los subconjuntos en los conjuntos complementarios, la cual reza que siempre que B sea un subconjunto de A, el complementario de A será igualmente un subconjunto del complementario de B, situación que puede ser expresada matemáticamente también de la siguiente manera:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

Ejemplos sobre la Propiedad de subconjunto en A^∁

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de poder ver cómo se cumple en efecto esta propiedad sea a través de algunos ejemplos específicos, en donde se observe si esta Ley matemática sobre los subconjuntos en el conjunto complementario se cumple o no. A continuación, algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas que comiencen por la letra “m”: A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón} y un subconjunto B= {Mandarina, Mango} determinar cómo se cumple la propiedad de los subconjuntos en los conjuntos complementarios, tomando en cuenta además el Conjunto Universal para este caso: U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

A fin de dar cumplimiento a la solicitud hecha por este postulado, se deberá proceder en primera instancia a traer a colación la expresión matemática de la Propiedad que quiere comprobarse, para poder realizar entonces las distintas operaciones involucradas:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

Al respecto, entonces la primera operación que deberá hacerse será la de comprobar que ciertamente B es un subconjunto de A, por lo que se compararán sus elementos:

A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
B= {Mandarina, Mango}

Hecho esto se puede comprobar entonces, en primera instancia, que ciertamente B se encuentra contenido de forma plena en A, es decir que B es un subconjunto de A:

B ⊂ A

Posteriormente, se deberán hallar los respectivos conjuntos complementarios de cada colección. En este caso, se comenzará por determinar el conjunto complementario de A, para lo que se someterán a una operación de Diferencia el conjunto Universal y este conjunto:

A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

A^∁ = U\\A
A^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo} \\ {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
A^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Maní, Merey, Membrillo}

Realizando también una operación de Diferencia, se determinará cual es el Conjunto complementario de B:

B= {Mandarina, Mango}
U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

B^∁ = U\\B
B^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo} \\ {Mandarina, Mango}

B^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

Teniendo ambos conjuntos complementarios, deberán ser comparados, para así determinar qué tipo de relación de subconjuntos puede establecerse entre ellos:

A^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Maní, Merey, Membrillo}
B^∁ = {Maracuyá, Mamoncillo, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

Al hacerlo, se ve cómo el Conjunto complementario de A se encuentra contenido en el Conjunto complementario de B, por lo que se concluye, en primer lugar que  A^∁ es un subconjunto de B^∁:

A^∁  ⊂ B^∁

Así también, queda demostrada la Propiedad sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario, puesto que efectivamente por ser B un subconjunto de A, el complementario de A termina estando contenido en el complementario de B:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

Ejemplo 2

Dado el conjunto complementario de A, sobre nombres de instrumentos musicales:  A^∁ = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas} y el conjunto complementario de B:  B^∁= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos} comprobar cómo se cumple la Propiedad  sobre los subconjuntos en el Conjunto Complementario, teniendo en cuenta además que para este caso se cuenta con el siguiente Conjunto Universal: U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

En este caso en específico, sólo se cuentan con los conjuntos complementarios, por lo que entonces el primer paso a desarrollar será aquel dirigido a determinar a qué conjuntos pertenecen estos complementarios. Se empezará entonces con la operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y A^∁ que permitirá determinar el conjunto A:

A^∁ = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}
U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

A= U \\ A^∁

A= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería} \\ {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}

A= {Bandolina, Violín, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Bongó, Platillos, Batería}

Usando la misma operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto complementario de B, se determinará cuál es el conjunto B:

B^∁= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}
U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

B= U\\ B^∁

B= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería} \\ {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}

B= {Bandolina, Violín,  Clarinete, Flauta, Batería}

Habiendo obtenido ambos conjuntos, se puede entonces traer a colación la expresión matemática de la Propiedad sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario, a fin de revisar si ciertamente se cumplen las distintas relaciones que ella establece:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

En este sentido, se deberá entonces comenzar por comprobar si ciertamente B se encuentra contenido en A, para lo cual se deben comparar los conjuntos, a fin de revisar sus elementos:

A= {Bandolina, Violín, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Bongó, Platillos, Batería}
B= {Bandolina, Violín,  Clarinete, Flauta, Batería}

Al hacerlo, se puede comprobar entonces que efectivamente, B puede considerarse subconjunto de A, puesto que sus elementos se encuentran plenamente contenidos en este conjunto:

A ⊂ B

Así mismo, se compararán los respectivos conjuntos complementarios, a fin de determinar si ciertamente puede existir también una relación de subconjuntos entre ellos:

A^∁ = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}
B^∁= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}

Revisando los respectivos elementos, se puede observar cómo el complemento de A es un subconjunto del complemento de B. Por ende, habiendo determinado estas relaciones de subconjuntos se puede dar por comprobada esta propiedad, ya que siendo B un subconjunto de A, se ve también cómo el complemento de A es a su vez un subconjunto del complemento de B:

B ⊂ A → A^∁ ⊂ B^∁

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