Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se deberá abordar en principio la propia definición de Conjunto, como forma de tener presente la naturaleza de los objetos matemáticos, en base a los cuales se da esta propiedad, así como aquellos tipos de conjuntos que se encuentran involucrados en la relación de complemento, así como en esta propiedad matemática. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

En primer lugar, el Conjunto puede ser definido como una colección abstracta, compuesta por elementos que cumplen la condición de tener entre ellos un rasgo o característica en común, de ahí que puedan ser vistos como un conjunto o agrupación. Así mismo, las Matemáticas han señalado que el Conjunto se caracteriza principalmente por estar conformado y definido, de forma única y exclusiva, por el grupo de elementos que la conforman. En cuanto a la notación a la que responden estos objetos, esta disciplina también indica que los conjuntos deberán ser nombrados según una letra mayúscula, mientras que sus elementos irán contenidos entre signos de llaves { } y presentados como un listado o enumeración, es decir, presentados de forma sucesiva y separados por comas.

Conjunto Universal

De igual forma, el Álgebra de Conjuntos lanza luces sobre la definición del Conjunto Universal, el cual es entendido como aquella colección abstracta, en donde pueden contarse como elementos todos aquellos pertenecientes a un universo delimitado. Por ende, este tipo de conjunto recibe el nombre de Universal, pues contiene de forma plena la totalidad de elementos de una dimensión, sirviendo entonces como paradigma, de ahí que en ocasiones también sea reconocido como Conjunto referencial.

Conjunto Complementario

Por su parte, el Álgebra de Conjuntos señala que el Conjunto complementario será aquella colección conformada por todos aquellos elementos que no se encuentren dentro de un conjunto determinado, en relación con el Conjunto Universal. De esta forma, en términos matemáticos, el Conjunto Complementario podrá ser determinado o definido también como la Diferencia que existe entre un Conjunto Universal y un Conjunto específico: A^∁= U\\A. En consecuencia, el resultado, conocido como Conjunto Complementario, serán todos aquellos elementos que formando parte del Conjunto Universal no pueden encontrarse en A.

Conjuntos disjuntos

Finalmente, es importante centrar la atención en la definición que la Teoría de Conjuntos da sobre los Conjuntos disjuntos, los cuales son definidos como aquellos conjuntos entre los cuales no puede encontrarse un solo elemento en común. Así mismo, en términos un poco más matemáticos, dos conjuntos pueden considerarse disjuntos si al ser sometidos a una operación de intersección, el resultado es el Conjunto vacío, es decir, el conjunto en el cual no puede encontrarse ningún elemento: A ∩ B = ∅

Propiedad sobre el carácter disjunto del A y A^∁

Con respecto a esta propiedad matemática, las distintas fuentes matemáticas refieren a ella como la Ley que reza expresamente que un Conjunto A y su Conjunto complementario A^∁ siempre y en todo caso serán conjuntos disjuntos. Esta propiedad es explicable si se piensa sobre la definición del Conjunto complementario, el cual es entendido como aquel conjunto en donde se encuentran todos aquellos elementos que “no están” en el Conjunto, teniendo siempre como referencia al Conjunto Universal. Por consiguiente, la intersección entre el Conjunto y su complementario será siempre el Conjunto vacío, es decir, no se podrá conseguir un solo elemento que coincida, lo que demostrará entonces el carácter disjunto de estas colecciones:

A ∩ A^∁ = ∅

Ejemplo sobre el carácter disconjunto de A y A^∁

Empero, puede que la mejor forma de aproximarse a esta propiedad matemática sobre el carácter disjunto que existe entre un conjunto y su complementario, sea a través de la exposición de un caso concreto, que sirva de ejemplo a esta ley, tal como el que se muestra a continuación:

Dado el conjunto A, constituido por nombres de frutas, cuyo nombre comienza por la letra “m”: A= {Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón} comprobar si se cumple la propiedad sobre el carácter disjunto entre el Conjunto y su complementario, tomando como referencia el Conjunto Universal: U= {Mangostino, Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Melocotón, Mamoncillo}

A fin de cumplir con la demanda de este postulado, el primer paso que deberá cumplirse es aquel dirigido a determinar cuál es el Conjunto complementario del conjunto A, para lo que se establecerá una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y éste:

A= {Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón}
U= {Mangostino, Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Melocotón, Mamoncillo}

A^∁ = U\\A
A^∁ = {Mangostino, Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Melocotón, Mamoncillo} \\ {Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón}
A^∁ = {Mangostino, Manzana, Melocotón, Mamoncillo}

Obtenido el Conjunto complementario, y con el propósito de comprobar es este caso la propiedad sobre el carácter disjunto del Conjunto y su complementario, será entonces necesario someter al Conjunto A y al Conjunto complementario A^∁ a una operación de intersección, a fin de determinar si existen o no elementos en comunes entre ellos:

A= {Mora, Mandarina, Maracuyá, Melón}
A^∁ = {Mangostino, Manzana, Melocotón, Mamoncillo}

A ∩ A^∁ = ∅

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo entre estos conjuntos (el conjunto A y su complementario) no se puede encontrar ningún elemento en común, por lo que queda comprobada la Ley matemática sobre el carácter disjunto de los conjuntos y sus conjuntos complementarios.

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