Probablemente, en aras de entender el contexto adecuado de la definición y uso de la Letra ordenatriz, sea necesario recordar la definición y las principales elementos del Polinomio.
Definición de Polinomio
En este sentido, viene bien a recordar entonces que –según lo que señalan las distintas fuentes teóricas- el Polinomio puede ser considerado como una suma finita de monomios, los cuales a su vez deben cumplir con el criterio de tener variables cuyos grados sean números enteros positivos. Así mismo, la teoría coloca especial énfasis en resaltar que dentro del polinomio, los distintos monomios pueden establecer relaciones sobre todo de suma, así también –aunque un poco menos- de resta y multiplicación, quedando en todo momento por fuera la operación de división.
Elementos del polinomio
Por otra parte, es importante destacar que aun cuando se puede decir que los elementos del polinomio básicamente son los monomios, el Álgebra elemental destaca además cuatro elementos fundamentales, que constituyen a esta expresión algebraica, cada uno de los cuales cuenta con su definición y misión específica, tal como se puede ver en la gráfica y las definiciones que se muestran a continuación:
Términos: nombre que recibe cada uno de los sumandos del polinomio, es decir, tanto aquellos que pueden ser señalados como monomios (producto entre números y letras, elevadas a exponentes enteros y positivos) y los término independientes.
Términos independientes: por su parte, esta categoría es asignada a aquellos elementos numéricos que aparecen dentro del polinomio sin que pueda distinguirse en ellos una variable.
Coeficientes: mientras tanto, los coeficientes serán aquellos números que se encuentran en todo momento en compañía de la variable, y cuya misión específica es acompañarla indicando cuál es la cantidad por la que deberá multiplicarse éste, en caso de ser despejada o asumir un valor numérico.
Grado: finalmente, el grado de un polinomio tiene dos formas de definirse. En el caso de polinomios de una variable, el grado del polinomio estará constituido por el valor del mayor exponente identificado en la variable que puede verse en sus monomios. Sin embargo, si el polinomio cuenta con más de una variable, el grado de la expresión vendría dado por el máximo grado absoluto que puede distinguirse en sus monomios. En cuanto a su función, el Álgebra elemental afirma que sirve de elemento guía a la hora de establecer una clasificación en base al grado, o un orden descendente o ascendente.
Letra ordenatriz
De hecho, precisamente esta última definición –es decir, la de grado de monomio- se encuentra estrechamente ligada a la definición propia de letra ordenatriz, pues ambas –grado y letra ordenatriz- entran en juego al momento de ordenar un polinomio de más de una variable. Por consiguiente, será necesario recordar que en el momento de realizar una operación en donde intervengan polinomios, uno de los primeros pasos casi siempre es ordenar los polinomios, acción que se consigue determinando cuál es el grado –o exponente- mayor a los que se encuentran elevadas la variable, ordenando la expresión algebraica, bien sea de mayor a menor (forma descendente) o de menor a mayor (forma ascendente) sin olvidar que aun cuando no tiene variable, el término independiente también forma parte del ordenamiento, siéndole atribuido el grado cero. Un ejemplo de esto, puede ser el siguiente:
Ejemplo 1
Ordenar de forma ascendente y descendente el siguiente polinomio:
P(x) = 3x2 – x5 + 2x4 – 3
Para ordenarlo, se determinará que el mayor grado es el 5, por lo que el polinomio es de grado 5 o quíntico, y se puede ordenar de dos formas:
Forma ascendente: – 3 + 3x2+ 2x4 – x5
Forma descendente: – x5 + 2x4 + 3x2– 3
Ejemplo 2
Sin embargo, si el polinomio que tuviese que ordenarse contara con más de una variable, es decir, que en lugar de ser P(x) fuese P(xyz) decretar cuál es el orden correcto, según los distintos grados de las diferentes variables, se hace un proceso mucho más complejo, por lo que se requiere indispensablemente escoger cuál será la variable por la que se dirigirá dicho ordenamiento, entendiéndose esta como la Letra Ordenatriz.
En consecuencia, la letra ordenatriz puede ser definida entonces como la variable que se escoge dentro de un polinomio de múltiples variables, a fin de que sea ella y su máximo grado la guía para procurar el ordenamiento de un polinomio, el cual puede ser igualmente tanto de menor a mayor (orden ascendente) y de mayor a menor (orden descendente).
Un ejemplo del uso de la letra ordenatriz lo puede constituir el siguiente: Ordenar de forma ascendente y descendente el siguiente polinomio:
P(xyz) = 5x2– 3x2yz3+ 2yz – 4x3y2 + 4x -5
En vista de que la expresión algebraica cuenta con más de una variable, se debe determinar cuál de ellas se escogerá como letra ordenatriz, a fin de ordenar el polinomio teniéndola como guía. En consecuencia, se usará la variable x como ordenatriz.
P(xyz) = 5x2– 3x2yz3+ 2yz – 4x3y2 + 4x -5
Viendo nuevamente el término, y ya teniendo la variable x como ordenatriz, se tendrá que el grado de este polinomio –según la variable x- es 3. Es decir, que es un polinomio de tercer grado. Así mismo, se ordenará entonces de las siguientes formas:
P(xyz) = 5x2– 3x2yz3+ 2yz – 4x3y2 + 4x -5
Orden ascendente: – 5 + 4x + 5x2– 3x2yz3 – 4x3y2 + 2yz
Orden descendente: – 4x3y2– 3x2yz3+ 5x2+4x+ 2yz – 5
En consecuencia, gracias a la existencia y determinación de la letra ordenatriz –o simplemente de la ordenatriz- se puede llevar a cabo el ordenamiento de un polinomio cuyos monomios estén conformados por más de una variable. Así mismo, la escogencia de una de las variables como una ordenatriz no determina que esta sea inamovible, es decir, que siempre se puede escoger alguna de las otras, sin ningún problema, decisión que depende totalmente del matemático, según sus intereses.
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