Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que resulte pertinente comenzar entonces por la propia definición de Conjunto, pues esto permitirá tener presente la naturaleza del objeto en base al cual surgen las distintas relaciones algebraicas. Así mismo, será necesario observar por un momento las definiciones de Relaciones algebraicas, Dominio, Rango, Relaciones entre conjuntos, por ser nociones imprescindibles para el entendimiento global de las distintas clases de relaciones algebraicas:

Conjunto

Respecto a la definición de Conjunto, este ha sido explicado entonces por la Teoría de Conjuntos como un objeto matemático, que se encuentra conformado por una agrupación de elementos, en los cuales se puede distinguir al menos un rasgo en común, de ahí que el Conjunto sea igualmente definido como un tipo de colección abstracta. Así mismo, estos elementos, además de formar parte de una misma naturaleza, cuentan con la propiedad y capacidad de definir, de una forma única y exclusiva al conjunto del cual forman parte.

Relaciones algebraicas

Por su parte, las Relaciones algebraicas serán entendidas como toda relación que se establezca entre uno, varios o todos los elementos de un conjunto primero y uno, varios o todos los elementos de un conjunto segundo, en donde además dicha relación se establecería a su vez como un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos en base a la cual se erige: A R B → R ⊂ AxB.

Dominio

Así mismo, el Dominio será señalado por el Álgebra como el subconjunto en donde se encuentran comprendidos todos los elementos del conjunto primero que establecen relación con los elementos del conjunto segundo. En el caso de las relaciones binarias, el Dominio será identificado así mismo como el conjunto de todos los elementos primeros de los pares ordenados originados de la relación entre los conjuntos.

Rango

En contravía, el Rango –conocido también como recorrido- estará constituido entonces por un subconjunto que agrupe todos los elementos del conjunto segundo que han establecido relación con alguno de los elementos que conforman el Dominio. En cuanto a las relaciones binarias, el rango será entendido también como el conjunto de los elementos segundos de los pares ordenados que han surgido en base a la relación establecida entre ambos conjuntos.

Relaciones entre conjuntos

Finalmente, otra de las definiciones que merecen ser analizadas son las Relaciones entre conjuntos, lo cual se entenderá como la relación algebraica que se establece cuando el conjunto primero cuenta con los mismos elementos del conjunto segundo, haciendo entonces que en algún momento los elementos del Dominio coincidan con los elementos del Rango.

Tipos de relaciones algebraicas

Teniendo presente estas definiciones, quizás entonces sí sea mucho más sencillo estudiar la definición de cada uno de los tipos de relaciones concebidas por el Álgebra y cuya principal diferencia será la característica o tipo de relación específica que, dentro de las relaciones en conjunto, establecen los elementos del conjunto primero con los elementos del conjunto segundo. En este sentido, esta disciplina matemática reconoce al menos cinco distintos tipos de relación, las cuales pueden ser definidas de la siguiente manera.

Relación reflexiva

Este tipo de relación algebraica se caracteriza por contar con un conjunto primero en donde todos y cada uno de los elementos que conforman el Dominio tienen relación consigo mismo en el conjunto de llegada, de ahí que se le denomine a este tipo de relación, como relación reflexiva. Sin embargo, para que la relación sea considerada como reflexiva, todos y cada uno de los elementos de A deben relacionarse consigo mismo, pues si solo uno de ellos no lo hace, la relación no podrá ser considerada como reflexiva. Así mismo, este tipo de relación cuenta con un sagital específico:

Un ejemplo de este tipo de relación algebraica podría ser entonces la siguiente:

Relación irreflexiva

Por su parte se dice entonces que una relación es irreflexiva, si más allá de ser una relación entre conjuntos, es decir, que las dos colecciones cuentan con los mismos elementos, ninguno se relaciona consigo mismo. Este tipo de Relación también se conoce con el nombre de antirefleja. Un ejemplo de ella sería el siguiente:

Relación simétrica

En cuanto a las relaciones simétricas, el Álgebra ha indicado que estas corresponderán a aquellas relaciones que cuentan con los mismos elementos para un par ordenado (A,B) que para el par ordenado (B,A). Este tipo de relaciones cuentan también con su propio sagital, el cual será el siguiente:

En cuanto al ejemplo específico con el que puede contar este tipo de relación se encontrará el siguiente:

R= {(2,4); (4,2); (6,8); (8,6)}

Relación antisimétrica

En cuanto a las relaciones antisimétricas se tendrá que pese a que los pares ordenados (A,B) y (B,A) puedan considerarse pertenecientes a la relación entre conjuntos A=B, se puede encontrar relación (A,B) pero no (B,A). Por consiguiente:

R= {(2,4); (6,8)}

Se pueden encontrar los pares (2,4) pero no (4,2). Así mismo, se encuentra el par (6,8) pero no (8,6). Por lo tanto se considera la Relación de tipo antisimétrico.

Relación transitiva

Finalmente, se dice que una relación es del tipo transitiva si A está relacionado con B, y B está relacionado con C, se asume entonces que A y C están relacionados. En cuanto a cómo puede observarse estos en los pares ordenados originados en la relación, se tendrá entonces que si (a,b) y (b,c) mantienen una relación, entonces también existe (a,c). El sagital para este tipo de relación será equivalente entonces al siguiente:

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