Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Término algebraico, Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones de segundo grado incompletas, por encontrarse directamente relacionadas con los ejemplos que se estudiarán después. A continuación, algunos ejemplos:

Término algebraico

Por consiguiente, se comenzará por decir que el Término algebraico ha sido explicado, de forma general, como un tipo de expresión matemática, que se encuentra conformada por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que se establece una operación de multiplicación, siendo esta la única operación que puede ocurrir entre ellos, es decir, que entre este número y esta letra no pueden existir operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de término algebraico podrá ser el siguiente:

-4ab²c

Así mismo, las distintas fuentes matemáticas han señalado que en el Término algebraico pueden encontrarse cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Signo: el primer elemento que podrá encontrarse en el Término algebraico, en tanto este se lea de izquierda a derecha es el signo, cuya tarea será indicar la naturaleza del término, es decir, si este es positivo o negativo. Según la tradición matemática, si el Término algebraico es positivo, entonces puede darse por sentado el signo más (+) que debería anotarse delante del término. Por el contrario, si el término es negativo, entonces obligatoriamente el primer elemento que debe anotarse de él es el signo menos (-).
• Coeficiente: en segundo lugar, en una lectura de izquierda a derecha, se encontrará el coeficiente, elemento constituido entonces por un elemento abstracto numérico, cuya principal tarea será la de señalar cuál es la cantidad precisa por la que debería multiplicarse el literal, toda vez que asuma un valor específico. En caso de que un literal no aparezca unido a ningún coeficiente explícito, se entenderá entonces que este se encuentra constituido por la unidad, la cual por tradición no se anota.
• Literal: así también, en el Término algebraico, y después del coeficiente, puede encontrarse el elemento abstracto literal del término, el cual estará constituido por una letra, cuya tarea es asumir valores numéricos específicos, en momentos precisos. De acuerdo a lo que señalan las diferentes fuentes, por tradición, para representar los literales se usarán las letras a, b y c. No obstante, cuando los valores de los literales conforman una incógnita, entonces las letras que se usan serán la x, y o z.
• Grado: finalmente, en el término algebraico también podrá distinguirse el Grado, elemento este que viene dado entonces por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el literal. Por lo general, cuando el literal no cuenta con un exponente explícito se asume que se encuentra elevado a la unidad, por lo que el término es entonces un elemento de primer grado. Si un término algebraico cuenta con varios literales, el Grado vendrá dado por el máximo valor del exponente al cual se encuentra elevado alguno de ellos.

Igualdades

En segundo lugar, será igualmente preciso traer a capítulo el concepto de Igualdades, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes matemáticas como la relación que existe entre dos elementos o términos, que resultan iguales en sus valores totales respectivos. Así mismo, los diferentes autores han coincidido en señalar que este tipo de relaciones matemáticas se explican a través del signo igual (=).

Por otro lado, las Matemáticas también han señalado que las igualdades se encuentran conformadas por dos distintos términos, los cuales han sido explicados entonces de la siguiente forma:

• Primer término: con este nombre se reconocerán todos los elementos, que se encuentren ubicados de forma anterior al signo igual.
• Segundo término: con respecto a este término de la igualdad, será reconocido entonces como el elemento o conjunto de elementos, que se encuentran dispuestos detrás del signo, que cumple con la misión de indicar la relación de igualdad.

Además, la disciplina matemática también distingue entre dos diferentes tipos de igualdades, las cuales se diferenciarán por la naturaleza de elementos con los que cuentan sus respectivos términos. A continuación, una breve explicación de cada una de estas clases de igualdades:

• Igualdad numérica: a esta clase de igualdad se le reconocerá por encontrarse conformada solo por elementos abstractos numérico.
• Igualdad literal: por otra parte, dentro de los distintos tipos de igualdades, se encontrará también la Igualdad literal, la cual además de contar con elementos numéricos en su conformación, posee en ellos también elementos abstractos literales. Dentro de este tipo de igualdades se distinguen las Identidades y las Ecuaciones.

Ecuaciones

También, será necesario tomar un momento para revisar el concepto de Ecuaciones, los cuales han sido explicados básicamente como un tipo de igualdad literal, en donde ocurre que este elemento literal sólo tiene la posibilidad de asumir un valor específico, siendo este el único capaz de hacer que la igualdad original se cumpla. Así mismo, las Matemáticas han explicado que este valor constituye una incógnita que debe ser entonces debidamente despejada. Un ejemplo de Ecuación será la siguiente:

Suponiendo que se tiene la siguiente expresión:

 x + 2 = 8

Se puede intentar entonces hacer que x asuma distintos valores, para comprobar con cuál de ellos se cumple la igualdad planteada, o si por el contrario se cumple con cualquier valor:

3 + 2 = 8 → 5 ≠ 8
4 + 2 = 8 → 6 ≠ 8
10 + 2 = 8 → 12 ≠ 8
12 + 9 = 8 → 21 ≠ 8
6 + 2 = 8 → 8 = 8

Al hacerlo, se determina entonces que la igualdad original sólo puede cumplirse cuando el valor de x resulta igual a 6. Por ende, la expresión –solo resultando igual cuando el literal asume un valor específico- puede ser considerada una Ecuación. Por el contrario, si esta pudiese cumplirse con cualquier valor, se estaría entonces en frente de una Identidad.

Ecuación de segundo grado

Así mismo, se lanzarán luces sobre el concepto de Ecuación de segundo grado, la cual ha sido explicada como aquella expresión matemática en la cual además de que el literal constituye una incógnita con un único valor posible, esta se encuentra elevada al cuadrado, es decir, a un exponente igual a dos.

No obstante, si en la expresión hubiese varios literales, entonces al ser de segundo grado, el mayor valor de los exponentes al que se encuentra elevado, sería 2. Un ejemplo de la forma que tiene casi cualquier ecuación de segundo grado, en su forma reducida, será la siguiente:

ax² + bx + c = 0

Con respecto a los elementos que componen este tipo de ecuaciones, podría diferenciarse entre elementos y términos, cada uno de los cuales se conforma de la siguiente manera:

• Elementos: estos se diferenciarán en dos grandes grupos: los coeficientes, constituidos por elementos numéricos, correspondientes a los elementos a, b y c; por otro lado, también se encontrará la x, identificada como el elemento literal, y la incógnita a despejar.
• Términos: así mismo, en las Ecuaciones de segundo grado podrán encontrarse tres diferentes términos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• ax²→ término cuadrático, el cual le da el cuadrado al número.
• bx → término lineal
• c → término independiente, llamado así por ser un elemento numérico, sin relación con la incógnita.

Ecuación de segundo grado incompleta

Finalmente, será recomendable revisar el concepto de Ecuaciones de segundo grado incompletas. En este sentido, las distintas fuentes coinciden en señalar que en toda ecuación de segundo grado, el término cuadrático cuenta con un coeficiente diferente de cero, pues en caso de que fuese al contrario, entonces este término se anularía, dando paso a una ecuación de primer grado, de forma bx + c = 0.

No obstante, este es el único elemento que debe cumplir con este requisito. En consecuencia, los otros dos términos sí pueden contar con coeficientes iguales a cero, dando como resultado términos nulos, y por ende, ecuaciones de segundo grado de diferentes formas, tal como se muestra a continuación:

• ax² + bx + c = 0 → Las ecuaciones de segundo grado tendrán esta forma cuando todos los coeficientes de los términos son diferentes a cero. En consecuencia, la ecuación es considerada completa.
• ax² +  c = 0 → No obstante, puede ocurrir que el coeficiente del término lineal bx es igual a cero. En este caso el término se anula, y da origen a una Ecuación de segundo grado con esta forma.
• ax² + bx = 0 → También puede ocurrir que el término independiente sea el que resulte igual a cero, por lo que entonces se declarará nulo, dando origen a una Ecuación de segundo grado incompleta, que responda a esta forma.
• ax² = 0 → por último, podría ocurrir igualmente que tanto el término lineal como el término independiente de la ecuación de segundo grado tuviesen coeficientes igual a cero, y por ende se declararan nulos, dando origen entonces a este tipo de ecuación de segundo grado incompleta.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a algunos ejemplos, que permitan ver de cerca casos concretos que pueden existir respecto a las Ecuaciones de segundo grado incompletas. A continuación, algunos de ellos:

7x² – 2 = 2x – x²

3x² = 6x

4x² = x

3x² – 27 = 0

2x² + 3x = -5x

3x – 6x² = 2x² – 5x

x² + 8x = 0

x² – 5x = 0

2x² + 8 = 0

4x² + 4 = 0

Imagen: pixabay.com