Previo a exponer algunos de los tantos ejercicios que pueden servir de ejemplo a la manera correcta de resolver, por medio de un producto notable, todo cubo de un binomio que implique resta, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender cada uno de estos ejercicios en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, podrá tomarse también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Productos notables, Cubo de un binomio cuando implica resta, por encontrarse directamente relacionados a los ejercicios, que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
De esta manera, se comenzará por decir entonces que los binomios han sido explicados, por las distintas fuentes, como una expresión algebraica, en donde se plantea una operación de suma o de resta –siendo estas las únicas operaciones admitidas- entre dos monomios, es decir, entre dos términos algebraicos, que se caracterizan a su vez por estar constituidos por un término numeral y un término literal, entre los que existe una multiplicación, siendo también la única operación que se permite.
Por ende, los binomios pueden ser explicados igualmente como un polinomio de dos términos. Algunos ejemplos de estas expresiones algebraicas pueden ser las siguientes:
3x2 + y =
2a + b3 =
x + y3 =
Productos notables
Por su parte, también será necesario pasar revista sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados, de manera general, como un conjunto de reglas matemáticas, orientadas a la factorización de polinomios, es decir, reglas matemáticas que tienen como objetivo procurar la expresión de un polinomio como un producto.
En consecuencia, los Productos notables constituyen un conjunto de reglas matemáticas, que permiten resolver de forma directa toda operación de producto entre polinomios, evitando así que se deba resolver término por término, lo cual se traduce por un lado en un ahorro de tiempo, y por otro en una reducción de errores.
Cubo de un binomio cuando implica resta
Por último, también será necesaria la revisión del concepto Cubo de un binomio cuando implica resta, el cual ha sido identificado como uno de los principales productos notables, que existen en el álgebra.
De forma mucho más específica, el Cubo de un binomio cuando implica resta constituye una regla matemática que señala que siempre que se quiera resolver la elevación al cubo de un polinomio de dos términos, en los que estos se resten, el resultado será igual entonces al cubo del primer término, menos el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término. Este producto notable puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:
(a – b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplos del Cubo de un binomio cuando implica resta
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a algunos ejercicios, que vengan a servir de ejemplo a la forma correcta en que debe resolverse por medio de un producto notable todo cubo de un binomio. A continuación, los siguientes ejemplo:
Ejercicio 1
Resolver la siguiente operación:
(x – 2y)3 =
Al momento de iniciar con esta operación, lo primer que deberá hacerse es revisar la naturaleza de los términos. Al hacerlo, se encontrará entonces que se trata de un binomio elevado al cubo. Por ende, para comenzar su solución, una de las posibilidades es aplicar la fórmula del producto notable pertinente cuando además los términos del polinomio se restan:
(x – 2y)3 = (x)3 – 3 . (x)2 . (2y) + 3 . (x) . (2y)2 – (2y)3
Hecho esto, se comenzará entonces a resolver cada una de las distintas operaciones planteadas:
(x)3 – 3 . (x)2 . (2y) + 3 . (x) . (2y)2 – (2y)3 = x3 – 6x2y + 3.(x).4y2 – 8y3
x3 – 6x2y + 3.(x).4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
Se ordenan entonces los términos:
x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 → x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Por último, se expresa entonces el resultado de la operación:
(x – 2y)3 = x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Ejemplo 2
Resolver la siguiente operación:
(x – 5)3 =
En este caso se comenzará también por revisar la naturaleza de los términos. Al hacerlo, se verá entonces que se trata de la elevación al cubo de un binomio. Para resolverlo, se aplicará entonces el producto notable pertinente en casos en donde los monomios que conforman la expresión se restan entre sí. Se comienza por plantear la fórmula respectiva:
(x – 5)3 = (x)3 – 3.(x)2.(5) + 3.(x).(5)2 – (5)3
Obtenida esta expresión, se opta entonces por resolver cada una de las operaciones planteadas:
(x)3 – 3.(x)2.(5) + 3.(x).(5)2 – (5)3 = x3 – 15x2 + 3x(25) – 125
x3 – 15x2 + 3x(25) + 125 = x3 – 15x2 + 75x – 125
Como los elementos se encuentran ordenados, no será necesario hacer este paso, sino que se procede a expresar directamente el resultado:
(x – 5)3 = x3 – 15x2 + 75x – 125
Identidades de Cauchy
No obstante, esta no es la única forma en que puede ser resuelta el Cubo de un binomio que implique resta, puesto que también podría ejecutarse a través de la aplicación de las Identidades de Cauchy, una identidad notable orientada a la factorización de polinomios.
En ese caso, esta regla matemática señala que siempre que se deba elevar al cubo un monomio en donde dos términos se restan, entonces el resultado siempre será igual al cubo del primer término, menos el cubo del segundo término, menos el triple del producto de los términos por la resta de los mismos. Esta fórmula matemática puede ser representada de la siguiente manera:
(a – b) = a3 – b3 – 3ab.(a-b)
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