Álgebra

En este sentido, se puede señalar que el Álgebra es definida por la mayoría de fuentes teóricas como una de las principales Ramas de las Matemáticas, cuyo principal objeto de estudio son las entidades abstractas, tanto las estructuras algebraicas, como las entidades abstractas no numéricas y las numéricas, sobre las cuales esta disciplina busca estudiar básicamente su naturaleza y relaciones en pro de obtener un conocimiento lo suficientemente general, que pueda ser homologado y aplicado en las otras ramas de la disciplina matemática.

Álgebra elemental

Así mismo, las fuentes teóricas coinciden en señalar que dentro del Álgebra pueden distinguirse dos sub-ramas, las cuales se diferencian esencialmente por el enfoque u objeto de estudio con el que cuentan. De esta manera, una primera materia, llamada Álgebra Abstracta se dedicará al estudio de la estructura algebraica, en donde todos los elementos son entidades abstractas que no pueden ser llevadas a números, ni que funcionan como representación de estos. En segundo lugar, se puede hablar del Álgebra Elemental, la cual por el contrario, trabaja con elementos abstractos, tanto numéricos (números) como no-numéricos (por lo general letras que sirven para representar números que no se conocen o está por conocerse, y que reciben el nombre de variable o indeterminada, encontrándose de esta manera estrechamente ligada a la Aritmética, y con el claro objetivo de poder comprender mucho más completamente el funcionamiento y relación que puede existir entre los elementos que conforman el sistema de los números reales.

Propiedades de la potenciación en el Álgebra Elemental

Por consiguiente, esta cercanía o punto común con la Aritmética, hace que sea natural el poder observar dentro del Álgebra Elemental distintos tipos de operaciones matemáticas, como la adicción, la sustracción, la multiplicación, y por su puesto la potenciación, la cual puede ser definida a su vez como el procedimiento matemático por medio del cual un elemento, que recibe el nombre de base, es instado a multiplicarse por sí mismo, el número de veces que le indica un segundo elemento al que se conoce como exponente. Igualmente, la teoría al respecto, completa la definición que tiene el Álgebra Elemental sobre la potenciación, a través de la descripción de las distintas propiedades inherentes a esta operación, las cuales pueden ser resumidas en los siguientes postulados:

En cuanto a su expresión

Tal como indica la propia definición de potenciación, esta operación matemática deberá expresarse por medio de una base (a) la cual se encontrará “elevada” a un exponente (^b) el cual deberá escribirse, en todo momento, en forma de superíndice, teniendo entonces la siguiente expresión:

a^b

En cuanto a la imposibilidad de ser conmutativa

Así también, entre las distintas propiedades de la potenciación, el Álgebra Elemental señala que esta operación carece de la capacidad de responder a la conmutatividad, puesto que al ser definida como un número que es instado por otro a multiplicarse el número de veces que este segundo elemento refiere, al alterar el orden de los elementos se alteraría totalmente el producto, puesto que, por ejemplo, no es igual (2³ = 8) que su inverso (3² = 9). En cuanto a la expresión matemática de esta propiedad, se puede encontrar la forma que se muestra seguidamente:

a^b ≠ b^a

En cuanto a la incapacidad de ser asociativa

Igualmente, el Álgebra Elemental indica que la operación de potenciación cuenta también con la incapacidad de ser asociativa, es decir, que dados más de tres elementos no se puede disponer distintos órdenes en la realización de las operaciones, pues esto traería una alteración del resultado final, por lo que entonces se puede decir que la potenciación simplemente no responde a la propiedad asociativa, por consiguiente no se puede plantear un orden distinto al natural para resolver la operación planteada.

En cuanto a su operación inversa

Tanto como la suma y la multiplicación, la potenciación cuenta también con una operación inversa, la cual se conoce con el nombre de Logaritmo, y que puede ser definida básicamente como la operación a través de la cual se calcula y obtiene, en base a un número o elemento dado, cuál sería la potencia de la cual proviene la primera cantidad. Un ejemplo de esto pude ser el logaritmo del número 10.000 el cual al calcular su logaritmo se llega a la conclusión de que es 10⁴ puesto que si se desarrollara esta potencia se obtendría nuevamente la cifra de 10.000. La forma de expresar esta relación sería:

Log₁₀ 10.000 = 4

Log₁₀ a = b

En cuanto a la propiedad distributiva

En otro orden de ideas, el Álgebra Elemental afirma que aun cuando no se puede hablar de propiedad conmutativa o distributiva en las operaciones de potenciación, por el contrario, sí se puede encontrar dentro de sus propiedades la propiedad distributiva para la multiplicación, puesto que si una multiplicación es elevada por completo a un exponente se puede decir que el resultado será igual a si cada uno de los elementos de dicha multiplicación es elevado a su vez al mismo exponente. Es decir, para expresarlo de forma más precisa:

 (a . b)^c = a^c . b^c

En cuanto a potencias de igual base

También puede suceder que cuando se trata del producto de varias potencias, se encuentre que todas ellas, o al menos dos, comparten igual potencia, en ese caso, el Álgebra Elemental señala que estas bases pueden tomarse como una misma, sumando sus distintos exponentes, tal como se muestra en la siguiente expresión:

a^b . a^c = a^b+c

En cuanto a las potencias elevadas a otros exponente

Finalmente, en el caso de encontrarse una potencia que a su vez esté elevado, en su totalidad, a otro exponente, según el Álgebra Elemental, la resolución de dicha potencia y su elevación a un exponente puede ser igual a la elevación de la base dada al producto de los exponentes. De tal manera que se puede expresar de la siguiente forma:

(a^b)^c = a^bc

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