Propiedad conmutativa en la multiplicación de números enteros

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte pertinente centrar dicha revisión en dos nociones fundamentales: la primera de ellas, la propia definición de Números enteros, a fin de tener presente la naturaleza de los elementos en base a la cual surge tanto la Multiplicación de Números enteros –cuya definición también será traída a capítulo- como esta Ley conmutativa. A continuación, cada uno de ellos:

Números enteros

De esta forma, se puede comenzar a decir que las Matemáticas han definido a los números enteros como aquellos elementos numéricos, constituidos por cantidades enteras y exactas, es decir que en ellos no se pueden encontrar números fraccionarios, o que cuenten con decimales.

Así mismo, esta disciplina señala que los Números enteros serán los elementos en base a los cuales se conforma en conjunto del mismo nombre –conocido también como conjunto Z- y en donde se puede tener evidencia de tres distintos elementos, cada uno con una tarea específica:

• Números enteros positivos: en primer lugar, se encontrarán los números enteros positivos, los cuales a su  vez constituyen el conjunto de los Números naturales. Estos se encuentran situados en la Recta numérica a la derecha del cero, y servirán para que este conjunto pueda ser usado para contar los elementos de una colección, darles un lugar o posición, así también como para expresar cantidades numéricas.
• Números enteros negativos: por otra parte, en este conjunto también se encontrarán los enteros negativos, los cuales serán considerados inversos a los enteros negativos, ubicándose a la izquierda del cero, en la Recta numérica, y siendo escritos siempre con su signo menos. Así mismo, estos números permitirán al conjunto Z dar también razón sobre deudas, o la ausencia de alguna cantidad determinada.
• Cero: finalmente, el cero (0) formará parte del conjunto Z. Sin embargo, no será considerado un número, sino la ausencia de cantidad, razón por lo cual será usado para dar cuenta de esta situación matemática. Por otro lado, no será visto ni como positivo ni como negativo, y se considerará inverso de sí mismo.

Multiplicación de Números enteros

En otro orden de ideas, será prudente también pasar revista sobre la definición de Multiplicación de números enteros, operación que puede ser explicada a grandes rasgos como el procedimiento por medio del cual un número entero (que se conocerá como multiplicando) se suma a sí mismo, tantas veces como le señale otro segundo número (que recibirá el nombre de multiplicador) de ahí que la multiplicación pueda ser señalada también como una suma abreviada.

No obstante, ya que dentro del conjunto de los Números enteros puede darse presencia tanto de números enteros positivos como negativos, es necesario aclarar que siempre que se plantee una operación, se deberán multiplicar los valores absolutos de los números involucrados, mientras que el producto obtenido, llevará el signo resultante de la multiplicación de signos, que se realizará con los símbolos que acompañe a cada número, y que será regida por la Ley de signos.

Propiedad conmutativa en la Multiplicación de números enteros

Teniendo presente estas definiciones, quizás entonces sí resulte mucho más sencilla la comprensión de la Propiedad conmutativa que puede darse en la Multiplicación de Números enteros, la cual dicta expresamente que toda vez que exista una multiplicación entre números enteros, estos podrán variar su posición, sin que ocurra alteración alguna en el resultado o producto obtenido, puesto que “el orden de los factores no altera el producto”. Esta propiedad puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

a . b = b . a

Ejemplo de la Propiedad conmutativa

Sin embargo, puede que todavía sea necesaria la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver en la práctica cómo realmente al intercambiar o variar la posición de los elementos involucrados en una multiplicación de números enteros, el resultado se mantiene igual, tal como puede verse en el siguiente ejercicio:

Resolver la siguiente operación:

4 x -3=

Primer orden:  4 x -3 =

|4| = 4
|-3|= 3

4 x 3= 12

+ . – = –

4 x -3 = -12

Segundo orden: -3 x 4=

|-3|= 3
|4| = 4

3 x 4= 12

– . + = –

-3 x 4 = -12

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